Tìm các giá trị của m để:
a) Phương trình $(m-1)x^{2}-2(m-2)x+m-3=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thoản mãn $x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}<1$
b)Phương trình $(m-5)x^{2}+2(m-1)x+m=0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thoả mãn $x_{1}
Tìm các giá trị của m để:
a) Phương trình $(m-1)x^{2}-2(m-2)x+m-3=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thoản mãn $x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}<1$
b)Phương trình $(m-5)x^{2}+2(m-1)x+m=0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thoả mãn $x_{1}
Đáp án:
b) \(\left[ \begin{array}{l}
m > 5\\
– \dfrac{1}{3} < m < \dfrac{{24}}{9}
\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
a)DK:\left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{m^2} – 4m + 4 – \left( {m – 1} \right)\left( {m – 3} \right) > 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{m^2} – 4m + 4 – {m^2} + 4m – 3 > 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
1 > 0\left( {ld} \right)
\end{array} \right.\\
Có:{x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} < 1\\
\to \dfrac{{2m – 4}}{{m – 1}} + \dfrac{{m – 3}}{{m – 1}} < 1\\
\to \dfrac{{3m – 7 – m + 1}}{{m – 1}} < 0\\
\to \dfrac{{2m – 6}}{{m – 1}} < 0\\
\to 1 < m < 3\\
b)DK:\left\{ \begin{array}{l}
m \ne 5\\
{m^2} – 2m + 1 – m\left( {m – 5} \right) > 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 5\\
3m + 1 > 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 5\\
m > – \dfrac{1}{3}
\end{array} \right.\\
Có:{x_1} < {x_2} < 2\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} – 2 < 0\\
{x_2} – 2 < 0
\end{array} \right.\\
\to \left( {{x_1} – 2} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) > 0\\
\to {x_1}{x_2} – 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0\\
\to \dfrac{m}{{m – 5}} – 2.\dfrac{{ – 2m + 2}}{{m – 5}} + 4 > 0\\
\to \dfrac{{4m – 4 + m + 4m – 20}}{{m – 5}} > 0\\
\to \dfrac{{9m – 24}}{{m – 5}} > 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m > 5\\
m < \dfrac{{24}}{9}
\end{array} \right.\\
KL:\left[ \begin{array}{l}
m > 5\\
– \dfrac{1}{3} < m < \dfrac{{24}}{9}
\end{array} \right.
\end{array}\)