Tìm các giá trị của m để hàm số y=( tanx + m) /( mtanx+1) nghịch biến trên khoảng (0;π\4)

0 bình luận về “Tìm các giá trị của m để hàm số y=( tanx + m) /( mtanx+1) nghịch biến trên khoảng (0;π\4)”

1. Đáp án:

   \[m > 1\]

   Giải thích các bước giải:

    Đặt \(t = \tan x\), ta có:

   Hàm số \(y = \tan \,x\) là hàm đồng biến trong khoảng \(\left( { – \dfrac{\pi }{2};\,\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

   Nên \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow t = \tan \,x \in \left( {0;1} \right)\)

   Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm các giá trị của \(m\) thỏa mãn \(y = \dfrac{{t + m}}{{mt + 1}}\) nghịch  biến trên khoảng từ \(\left( {0;1} \right)\)

   Do đó, ta có:

   \(\begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   y’ < 0,\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\
   mt + 1 \ne 0,\,\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   y’ = \dfrac{{\left( {t + m} \right)’.\left( {mt + 1} \right) – \left( {mt + 1} \right)’.\left( {t + m} \right)}}{{{{\left( {mt + 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\
   m \ne \dfrac{{ – 1}}{t},\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   y’ = \dfrac{{\left( {mt + 1} \right) – m\left( {t + m} \right)}}{{{{\left( {mt + 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\
   m \ge  – 1
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   y’ = \dfrac{{1 – {m^2}}}{{{{\left( {mt + 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\
   m \ge  – 1
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   1 – {m^2} < 0\\
   m \ge  – 1
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   {m^2} > 1\\
   m \ge  – 1
   \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1
   \end{array}\)

   Vậy \(m > 1\)

   Bình luận