Tìm các hệ số `a,b,c` sao cho đa thức `P(x)=x^4+4mx^3+6ax^2+4bx+c` chia hết cho đa thức `P'(x)=x^3+3mx^2+3ax+b,` `m` là hằng số khác `0`,

Tìm các hệ số `a,b,c` sao cho đa thức
`P(x)=x^4+4mx^3+6ax^2+4bx+c`
chia hết cho đa thức
`P'(x)=x^3+3mx^2+3ax+b,`
`m` là hằng số khác `0`,

0 bình luận về “Tìm các hệ số `a,b,c` sao cho đa thức `P(x)=x^4+4mx^3+6ax^2+4bx+c` chia hết cho đa thức `P'(x)=x^3+3mx^2+3ax+b,` `m` là hằng số khác `0`,”

  1. Đáp án:

     `a=m^2;b=m^3;c=m^4`

    Giải thích các bước giải:

    `P(x)=x^4+4mx^3+6ax^2+4bx+c`

    `P'(x)=x^3+3mx^2+3ax+b`

    Vì `P(x)` có bậc là $4$; $P'(x)$ có bậc là $3$ và $P(x)$ chia hết $P'(x)$ nên đa thức thương có dạng $px+q\ (p\ne 0)$

    `=>P'(x).(px+q)=P(x)` 

    Ta có:

    `\qquad P'(x)(px+q)`

    `=(x^3+3mx^2+3ax+b)(px+q)`

    `=px^4+qx^3+3mpx^3+3mqx^2+3apx^2+3aqx+bpx+bq`

    `=px^4+(q+3mp)x^3+3(mq+ap)x^2+(3aq+bp)x+bq`

    $\\$

    `\qquad P'(x).(px+q)=P(x)`

    `<=>px^4+(q+3mp)x^3+3(mq+ap)x^2+(3aq+bp)x+bq=x^4+4mx^3+6ax^2+4bx+c`

    Đồng nhất hệ số ta có:

    $\quad \begin{cases}p=1\\q+3mp=4m\\3(mq+ap)=6a\\3aq+bp=4b\\bq=c\end{cases}$

    `<=>`$\begin{cases}q+3m=4m\\mq+a=2a\\3aq+b=4b\\bq=c\end{cases}$

    `<=>`$\begin{cases}q=m\\m.m=a\\3a.m=3b\\bm=c\end{cases}$

    `<=>`$\begin{cases}a=m^2\\m^3=b\\m^4=c\end{cases}$

    Vậy: `a=m^2;b=m^3;c=m^4`

    Bình luận

Viết một bình luận