Tìm các số nguyên dương n sao cho n^4 + 2n^3 + 2n^2+n+7 là số chính phương

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt $y=n^4+2n^3+2n^2+n+7  (y∈N)$

         $=(n^4+2n.n^2+n^2)+n^2+n+7$

         $=(n²+n)² +( n²+n+7)$ $⇔ y^2>(n^2+n)^2$

$⇔ y>(n^2+n)$

$⇔ y\geq(n^2+n)+1\geq(n^2+n+1)$

$⇔ y^2\geq(n^2+n+1)$

$⇔n^4+2n^3+2n^2+n+7≥n^4+n^2+1+2n^3+2n^3+2n$

$⇔ n^2+n-6\leq0$

$⇔ (n-2)(n+3)\leq0$

$⇔\left[ \begin{array}{l}\left \{ {{n\geq2} \atop {n\leq-3}}⇒vn \right.\\\left \{ {{n\leq2} \atop {n\geq-3}}⇒-3\leq n\leq2 \right.\end{array} \right.$

 Thử từng trường hợp, ta thấy có $-3$ và $2$ thỏa mãn

$⇒n={-3;2}$

Xin hay nhất!!!