Tìm các số nguyên tố a,b,c sao cho a mũ c-b rồi cộng với c và c mũ a+ với b đều là số nguyên tố

Đáp án: $(a;b;c)=(2;2;3)$

 

Giải thích các bước giải:

Đặt $A=a^{c-b}+c;B=c^a+b$

Để $A$ là số nguyên tố

$⇒a^{c-b}+c∈N$

$⇒a^{c-b}∈N$

$⇒c-b>0⇒c>b⇒c>2$

Do $a;b;c$ là các số nguyên tố 

$⇒B=c^a+b≥2^2+2=6$

Để $B$ là số nguyên tố

$⇒B$ là số lẻ

$⇒c^a$ hoặc $b$ lẻ

Nếu $b$ lẻ $⇒c^a$ chẵn $⇒c$ chẵn

Mà $c$ là số chẵn $⇒c=2$ (loại)

$⇒b$ chẵn $⇒b=2$

$⇒c^a$ lẻ $⇒c$ lẻ

Đê $A$ là số nguyên tố

$⇒a^{c-b}$ chẵn

$⇒a$ chẵn

Mà $a$ là số nguyên tố $⇒a=2$

Khi đó: $B=c^2+2$

Do $c$ là số nguyên tố lớn hơn 2 nên xét $3$ trường hợp:

-Nếu $c=3⇒B=3^2+2=11$ là số nguyên tố

Và $A=2^{3-2}+3=5$ là số nguyên tố

-Nếu $c$ chia $3$ dư $1⇒c=3k+1(k∈N)$

$⇒B=c^2+2=(3k+1)^2+2$

$=(3k+1)(3k+1)+2=9k^2+3k+3k+1+2$

$=9k^2+6k+3=3(3k^2+2k+1)\vdots 3$

Mà $B>3$

$⇒B$ có ít nhất $3$ ước: $1;3;B$

$⇒B$ là hợp số (loại)

-Nếu $c$ chia $3$ dư $2⇒c=3k+2(k∈N)$

$⇒B=c^2+2=(3k+2)^2+2$

$=(3k+2)(3k+2)+2=9k^2+6k+6k+4+2$

$=9k^2+12k+6=3(3k^2+4k+2)\vdots 3$

Mà $B>3$

$⇒B$ có ít nhất $3$ ước: $1;3;B$

$⇒B$ là hợp số (loại)

Vậy $a=2;b=2;c=3$

Trả lời