Tìm các số nguyên tố `p,q` sao cho `p^q + 1 = q^p` ai còn on ko `~`

0 bình luận về “Tìm các số nguyên tố `p,q` sao cho `p^q + 1 = q^p` ai còn on ko `~`”

1. Đáp án:

    Giải thích các bước giải:

   Ta có: `p^q + 1 = q^p`. Vì `q,p` là các số nguyên tố nên ta xét:

   +) Xét `p,q` cùng chẵn `=>q=p=2`, khi đó ta có:

   `2^2 + 1 = 2^2` (vô lí)

   +) Xét `p,q` cùng lẻ 

   `=>p^q` là một số lẻ, tương tự `q^p` cũng là một số lẻ.

   `=>` vế phải là một số chẵn, vế trái là một số lẻ (loại)

   `=>` Trong hai số `p,q` có `1` số chẵn, `1` số lẻ. 

   _________

   +) Xét trường hợp khi `p` là số lẻ và `q` là số chẵn `=> q=2.`

   Khi đó phương trình `<=> p^2 + 1 = 2^p.`

   Xét `p≥3` mà `p` là số nguyên tố `=>p` có dạng `2k+1(k≥1)`
   `=> (2k+1)^2 = 2^{2k+1}`
   `<=> 4k^2 + 4k + 1 + 1 = 2^{2k}.2`
    `<=>4k^2+4k+2=4^k . 2`
   `<=>2k^2+2k+1=4^k`
   Ta thấy với `k≥1` thì vế trái chia `2` dư `1`, vế phải chia hết cho `2.`
   `=>` Phương trình vô nghiệm.

   _________

   +) Xét trường hợp khi `q` là số lẻ và `p` là số chẵn `=> p=2.`

   Khi đó ta có: `2^q + 1 = q^2`

   `<=> 2^q = q^2 – 1`

   `<=> 2^q = (q-1)(q+1)`

   Ta có: `q+1 – (q-1) = 2`

   `=> q-1; q+1` cùng tính chẵn lẻ. Mà `q>2` `=> 2^q` là một số chẵn.

   `=> q-1; q+1` đều chẵn.

   Đặt `q-1= 2^m` và `q+1=2^n` `(n>m≥0), m+n=q`

   `=>2^n- 2^m = q +1 – (q-1)`

   `<=>2^m (2^{n-m} – 1) = 2.1`

   Ta xét: `2^{n-m} -1` là một số lẻ vì `n>m.`

   Đẳng thức trên xảy ra khi $\quad \begin{cases} 2^m=2\quad\\2^{n-m} -1=1\quad\end{cases}$

   `<=> ` $\quad \begin{cases} m=1\quad\\2^{n-1} =2\quad\end{cases}$

   `<=> ` $\quad \begin{cases} m=1\quad\\n=2\quad\end{cases}$

   `=>q=m+n=1+2=3.`

   Thử lại ta có: `2^3+1=3^2.`

   Vậy cặp số nguyên tố `(p;q)` thỏa mãn là: `(2;3).`

   Trả lời