Tìm các số nguyên x,y thỏa 〖5x〗^2+y^2-2xy+2x-6y+1<0

Đáp án:Giải thích các bước giải:

$\color{red}{Lemon .  }$            

Vì x, y ∈ Z nên 5x² + y² – 2xy + 2x – 6y + 1 < 0  

⇔ 5x² + y² – 2xy + 2x – 6y + 2 ≤ 0

⇔ (x² + y² + 9 – 2xy + 6x – 6y) + (4x² – 4x + 1) – 8 ≤ 0

⇔ (x – y + 3)² + (2x – 1)² ≤ 8

Ta có (2x – 1)² ≤ 8 , (2x – 1)² là số chình phương lẻ.

Do vậy chỉ có (2x -1)² = 1² ⇔ 2x – 1 = 1 hoặc 2x – 1 = – 1 ⇔ x = 0 hoặc x = 1

Vì (2x – 1)² = 1. Nên (x – y + 3)² ≤ 7

Do đó (x – y + 3)² = 0²; 1²; 2².

*x = 0 : Ta có (3 – y)² = 0²; 1²; 2²  ⇔ y ∈ {3; 2; 4; 1; 5}

*x = 1: Ta có (4 – y)² = 0²; 1²; 2²  ⇔ y ∈ {4; 3; 5; 2; 6}

Các cặp số nguyên (x; y) cần tìm là (0; 3); (0; 2); (0; 4); (0; 1); (0; 5); (1; 4); (1; 3); (1; 5); (1; 2); (1; 6) .