Tìm các số thực `x` sao cho `x+sqrt(2020)` và `5/x-sqrt(2020)` đều là số nguyên. 17/11/2021 Bởi Arianna Tìm các số thực `x` sao cho `x+sqrt(2020)` và `5/x-sqrt(2020)` đều là số nguyên.
Đáp án: $x = \pm 45 -\sqrt{2020}$ Giải thích các bước giải: $\begin{array}{l}\qquad \begin{cases}x + \sqrt{2020} \in \Bbb Z\\\dfrac{5}{x} – \sqrt{2020}\in\Bbb Z\end{cases}\\ Đặt \quad \begin{cases}a = x + \sqrt{2020}\\b = \dfrac{5}{x} – \sqrt{2020}\end{cases}\qquad (a;\,b\in\Bbb Z)\\ \to \begin{cases}x = a – \sqrt{2020}\qquad \qquad \qquad \,\,(1)\\b = \dfrac{5}{a -\sqrt{2020}} – \sqrt{2020}\end{cases}\\ \to b + 2020 = \dfrac{5}{a – \sqrt{2020}}\\ \to (a – \sqrt{2020})(b + \sqrt{2020}) = 5\qquad (2)\\ \to ab + (a-b)\sqrt{2020} = 2025\\ \text{Ta có:}\,\,2025\in \Bbb Z\\ \to ab + (a-b)\sqrt{2020}\in\Bbb Z\\ mà\,\, a;\, b\in\Bbb Z\\ \to ab \in \Bbb Z\\ nên\,\,(a-b)\sqrt{2020}\in\Bbb Z\\ \text{Lại có:}\\ \quad \begin{cases}a- b \in \Bbb Z\\ \sqrt{2020}\not\in\Bbb Z\end{cases}\\ nên \,\,(a-b)\sqrt{2020}\in\Bbb Z \\ \to (a-b)\sqrt{2020} =0\\ \to a – b = 0\\ \to a = b\\ \text{Thay vào $(2)$ ta được:}\\ \quad (a – \sqrt{2020})(a + \sqrt{2020}) = 5\\ \to a^2 – 2020 = 5\\ \to a^2 = 2025\\ \to a = \pm 45\\ \text{Thay vào $(1)$ ta được:}\\ \quad x = \pm 45 -\sqrt{2020} \end{array}$ Bình luận
Đáp án:
$x = \pm 45 -\sqrt{2020}$
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}\qquad \begin{cases}x + \sqrt{2020} \in \Bbb Z\\\dfrac{5}{x} – \sqrt{2020}\in\Bbb Z\end{cases}\\ Đặt \quad \begin{cases}a = x + \sqrt{2020}\\b = \dfrac{5}{x} – \sqrt{2020}\end{cases}\qquad (a;\,b\in\Bbb Z)\\ \to \begin{cases}x = a – \sqrt{2020}\qquad \qquad \qquad \,\,(1)\\b = \dfrac{5}{a -\sqrt{2020}} – \sqrt{2020}\end{cases}\\ \to b + 2020 = \dfrac{5}{a – \sqrt{2020}}\\ \to (a – \sqrt{2020})(b + \sqrt{2020}) = 5\qquad (2)\\ \to ab + (a-b)\sqrt{2020} = 2025\\ \text{Ta có:}\,\,2025\in \Bbb Z\\ \to ab + (a-b)\sqrt{2020}\in\Bbb Z\\ mà\,\, a;\, b\in\Bbb Z\\ \to ab \in \Bbb Z\\ nên\,\,(a-b)\sqrt{2020}\in\Bbb Z\\ \text{Lại có:}\\ \quad \begin{cases}a- b \in \Bbb Z\\ \sqrt{2020}\not\in\Bbb Z\end{cases}\\ nên \,\,(a-b)\sqrt{2020}\in\Bbb Z \\ \to (a-b)\sqrt{2020} =0\\ \to a – b = 0\\ \to a = b\\ \text{Thay vào $(2)$ ta được:}\\ \quad (a – \sqrt{2020})(a + \sqrt{2020}) = 5\\ \to a^2 – 2020 = 5\\ \to a^2 = 2025\\ \to a = \pm 45\\ \text{Thay vào $(1)$ ta được:}\\ \quad x = \pm 45 -\sqrt{2020} \end{array}$