Tìm các số tự nhiên x, n sao cho P = x^4 +2^4n+2 là số nguyên tố. 21/07/2021 Bởi Ruby Tìm các số tự nhiên x, n sao cho P = x^4 +2^4n+2 là số nguyên tố.
Đáp án: Vs x=0 (ko thỏa mãn) Xét x khác 0 Ta có: $2^{4n+2}$=4.$2^{4n}$=4 $2^{4n}$=1(mod5) ⇒4.$2^{4n}$=4(mod5) $x^{4}$=1(mod5)⇒$x^{4}$+$2^{4n+2}$ luôn chia hết cho 5.Plaf số nguyên tố thì: $x^{4}$+$2^{4n+2}$ =5 Vậy x=1; n=0 Bình luận
Giải thích các bước giải: $x^{4}$+$2^{4n+2}$=($x^{2}$)²+($2^{2n+1}$)² ==(x²)²+2x².$2^{2n+1}$+($2^{2n+1}$)²-2x².$2^{2n+1}$=(x²+ $2^{2n+1}$)²-4x².$2^{2n}$ =(x²+$2^{2n+1}$)²-(2x.$2^{n}$)²=(x²+ $2^{2n+1}$)²-(x.$2^{n+1}$)² =(x²+$2^{2n+1}$+x.$2^{n+1}$)(x²+$2^{2n+1}$-x.$2^{n+1}$) Để P∈Z thì )(\(\left[ \begin{array}{l}x²+2^{2n+1}+x.2^{n+1}=1\\x²+ 2^{2n+1}-x.2^{n+1}=1\end{array} \right.\) ) lại có x,n∈N => x²+$2^{2n+1}$+x.$2^{n+1}$>1 =>x(x-$2^{n}$)²+ $2^{2n}$=1 <=>(x-$2^{n}$)²+ $2^{2n}$=1 <=>$\left \{ {{n=0} \atop {x=1}} \right.$ ™ =>p=5∈Z thỏa mãn Bình luận
Đáp án:
Vs x=0 (ko thỏa mãn)
Xét x khác 0
Ta có: $2^{4n+2}$=4.$2^{4n}$=4
$2^{4n}$=1(mod5)
⇒4.$2^{4n}$=4(mod5)
$x^{4}$=1(mod5)⇒$x^{4}$+$2^{4n+2}$ luôn chia hết cho 5.Plaf số nguyên tố thì:
$x^{4}$+$2^{4n+2}$ =5
Vậy x=1; n=0
Giải thích các bước giải:
$x^{4}$+$2^{4n+2}$=($x^{2}$)²+($2^{2n+1}$)²
==(x²)²+2x².$2^{2n+1}$+($2^{2n+1}$)²-2x².$2^{2n+1}$=(x²+ $2^{2n+1}$)²-4x².$2^{2n}$
=(x²+$2^{2n+1}$)²-(2x.$2^{n}$)²=(x²+ $2^{2n+1}$)²-(x.$2^{n+1}$)²
=(x²+$2^{2n+1}$+x.$2^{n+1}$)(x²+$2^{2n+1}$-x.$2^{n+1}$)
Để P∈Z thì )(\(\left[ \begin{array}{l}x²+2^{2n+1}+x.2^{n+1}=1\\x²+ 2^{2n+1}-x.2^{n+1}=1\end{array} \right.\) )
lại có x,n∈N
=> x²+$2^{2n+1}$+x.$2^{n+1}$>1
=>x(x-$2^{n}$)²+ $2^{2n}$=1
<=>(x-$2^{n}$)²+ $2^{2n}$=1
<=>$\left \{ {{n=0} \atop {x=1}} \right.$ ™
=>p=5∈Z thỏa mãn