Tìm các số tự nhiên x,y thỏa mãn x^3=y^3+2(x^2+y^2) +3xy+17

0 bình luận về “Tìm các số tự nhiên x,y thỏa mãn x^3=y^3+2(x^2+y^2) +3xy+17”

1. Đáp án:

   +) Nếu $x=3$ từ (1) ⇒ $y=0$

   +) Nếu $x=4$ từ (1) ⇒ $y=0$ hoặc $y=1$

   Giải thích các bước giải:

        $x^3=y^3+2(x^2+y^2)+3xy+17$ 

   ⇔ $(x-y)(x^2+xy+y^2)=2(x^2+xy+y^2)+xy+17$ 

   ⇔  $(x-y-2)(x^2+xy+y^2)=xy+17 $ 

   Do $x, y ∈ N$ nên $xy+17>0$ và $x^2+xy+y^2>0$

   Suy ra : $x-y-2>0.$ Vì vậy $x$ $\geq$ $y+3$$\geq3(1)$ 

   Lại có: $x^2+ xy+y^2$ $\leq$ $xy+17$ nên $x^2+y^2$$\leq17(2)$ 

   Từ (1)(2) ⇒ $3\le$ $x$ $\leq4$ và $x ∈ N$, nên $x∈$ {3;4}

   +) Nếu $x=3$ từ (1) ⇒ $y=0$

   +) Nếu $x=4$ từ (1) ⇒ $y=0$ hoặc $y=1$

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Từ giả thiết ta có:                    $(x;y\in N)$        

    

   $x^{3}=y^{3}+2(x^{2}+y^{2})+3xy+17> y^{3}+4y^{2}+3y^{2}+17> (y+1)^{3}\Rightarrow x> y+1\Rightarrow x\geq y+2$    ( $x>y$ )

    $PT\Leftrightarrow x^{3}-y^{3}-2(x^{2}+y^{2}+xy)=xy+17\Leftrightarrow (x-y-2)(x^{2}+y^{2}+xy)=xy+17$

    Ta có đánh giá : $xy\leq \frac{x^{2}+y^{2}+xy}{3}\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

   $\Rightarrow (x-y-2)(x^{2}+y^{2}+xy)=xy+17\leq \frac{x^{2}+y^{2}+xy}{3}+17\Rightarrow (x-y-\frac{7}{3})(x^{2}+y^{2}+xy)\leq 17\Rightarrow (x-y-3)(x^{2}+y^{2}+xy)<17\Rightarrow (x-y-3)(x^{2}+y^{2}+xy)\leq 16$       (1)

   Do đã có  $x\geq y+2$ nên xét $\begin{bmatrix} x=y+2 & \\ x=y+3 & \end{bmatrix}$

   Còn $x\geq y+4\Rightarrow (x-y-3)(x^{2}+y^{2}+xy)> x^{2}+y^{2}+xy\geq (y+4)^{2}+y^{2}+y(y+4)\geq 16$      (2)

    Từ (1) và (2) $\Rightarrow y=0$ 

   Tổng kết lại ta có 3 trường hợp:

   $\begin{bmatrix} x=y+2 & & \\ x=y+3 & & \\ y=0 & & \end{bmatrix}$

   Thay vào… ta tìm được kết quả

   Bình luận