tim các số x,y,z thỏa mãn đồng thời 2x=3y=4z và xy+yz+zx=6

Đáp án:

\[\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = \frac{4}{3}\\
z = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x =  – 2\\
y =  – \frac{4}{3}\\
z =  – 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
2x = 3y = 4z\\
 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{12}} = \frac{{3y}}{{12}} = \frac{{4z}}{{12}}\left( {12 = BCNN\left( {2;3;4} \right)} \right)\\
 \Leftrightarrow \frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3}
\end{array}\)

Ta có:

\[\begin{array}{l}
{\left( {\frac{x}{6}} \right)^2} = \frac{x}{6}.\frac{x}{6} = \frac{x}{6}.\frac{y}{4} = \frac{y}{4}.\frac{z}{3} = \frac{z}{3}.\frac{x}{6}\\
 \Leftrightarrow {\left( {\frac{x}{6}} \right)^2} = \frac{{xy}}{{24}} = \frac{{yz}}{{12}} = \frac{{zx}}{{18}} = \frac{{xy + yz + zx}}{{24 + 12 + 18}} = \frac{6}{{54}} = \frac{1}{9}\\
 \Rightarrow \frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3} =  \pm \frac{1}{3}\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = \frac{4}{3}\\
z = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x =  – 2\\
y =  – \frac{4}{3}\\
z =  – 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\]