•Tìm căn bậc 10 cuả 1+i($\sqrt[10]{1+i}$)? •Cho thăng bậc luỹ thừa bậc 10,tìm n để: $9^{4^{2^{7^{5^{3^{3^{9^{10^{4n^{11}}}}}}}}}}=9122001$

Lời giải:

•Ta viết $1+i$ dưới dạng lượng giác.

$1+i=\sqrt{2}.(cos\frac{π}{4}+isin\frac{π}{4})$

Theo công thức căn cuả số phức,các căn bậc 10 cuả 1+i là:

$z_k=\sqrt[20]{2}.(cos\frac{\frac{π}{4}+k2π}{10}+isin\frac{\frac{π}{4}+k2π}{10})$ với$k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Vậy $1+i$ có 10 căn bậc 10 là:

$•z_0=\sqrt[20]{2}.(cos\frac{π}{40}+isin\frac{π}{40})$ 

$•z_1=\sqrt[20]{2}.(cos\frac{9π}{40}+isin\frac{9π}{40})$ 

$•z_2=\sqrt[20]{2}.(cos\frac{17π}{40}+isin\frac{17π}{40})$ 

$•z_3=\sqrt[20]{2}.(cos\frac{5π}{8}+isin\frac{5π}{8})$ 

$•z_4=\sqrt[20]{2}.(cos\frac{33π}{40}+isin\frac{33π}{40})$ 

$•z_5=\sqrt[20]{2}.(cos\frac{41π}{40}+isin\frac{41π}{40})$ 

$•z_6=\sqrt[20]{2}.(cos\frac{49π}{40}+isin\frac{49π}{40})$ 

$•z_7=\sqrt[20]{2}.(cos\frac{57π}{40}+isin\frac{57π}{40})$ 

$•z_8=\sqrt[20]{2}.(cos\frac{13π}{8}+isin\frac{13π}{8})$ 

$•z_9=\sqrt[20]{2}.(cos\frac{73π}{40}+isin\frac{73π}{40})$ 

•Ta có:

$9^{4^{2^{7^{5^{3^{3^{9^{10^{4n^{11}}}}}}}}}}=9122001$

$⇔9^{4^{2^{7^{5^{3^{3^{9^{10^{4n^{11}}}}}}}}}}=9^{4^{2^{7^{5^{3^{3^{9^{10^{log_{10}(log_9(log_3(log_3(log_5(log_7(log_2(log_4(log_99122001))))))))}}}}}}}}}$

$⇔n=\frac{\sqrt[11]{log_{10}(log_9(log_3(log_3(log_5(log_7(log_2(log_4(log_99122001))))))))}}{4}$