Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn phương trình (2019x+2020) ² = y ³ +1

0 bình luận về “Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn phương trình (2019x+2020) ² = y ³ +1”

1. \[(2019x+2020)^2=y^3+1\]
   \[↔(2019x+2020)^2=(y+1)(y^2-y+1)\]
   Vì VT là 1 số chính phương $→$ VP cũng phải là 1 scp, hay $(y+1)(y^2-y+1)$ là scp

   Gọi d là $UCLN(y+1;y^2-y+1)$

   $→$ \[\left\{\begin{matrix} y+1\quad\vdots\quad d & \\ y^2-y+1 \quad\vdots\quad d& \end{matrix}\right.\] 

   $\to (y+1)^2-3(y+1)+3\quad\vdots d$

   $→3\quad\vdots d$

   $→$ \(\left[ \begin{array}{l}d=1\\d=3\end{array} \right.\) 

   Với $d=1→y+1$ và $y^2-y+1$ đều là số chính phương

   Vì y nguyên dương $\to (y-1)^2<y^2-y+1≤y^2$

   $→y=1→y+1=2$

   mà 2 không phải là SCP $→$ Loại

   Với $d=3→$ VP $\quad\vdots\quad 3$

   VT: \[\left\{\begin{matrix}
   2019\quad\vdots\quad d & \\ 
   2020\quad\not \vdots\quad d& 
   \end{matrix}\right.\]

   \[\to \quad VT \quad\not\vdots\quad 3\]

   $→$ Pt vô nghiệm. 

   Bình luận

2. Đáp án: Phương trình vô nghiệm

   Giải thích các bước giải:

   Ta có :
   $(2019x+2020)^2=y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)$ 

   $\to (y+1)(y^2-y+1)$ là số chính phương

   Gọi $(y+1,y^2-y+1)=d$

   $\to y^2-y+1=(y+1)^2-3(y+1)+3\quad\vdots\quad d\to 3\quad\vdots\quad d$

   $\to d=1$

   Vì $(2019x+2020)^2\quad\not\vdots\quad d$

   $\to y+1,y^2-y+1$ đều là số chính phương

   Mà $(y-1)^2<y^2-y+1<y^2$

   vì $(2019x+2020)^2=y^3+1>2020^2, x,y\in Z^+$

   $\to y^2-y+1$ không là số chính phương

   $\to $Phương trình vô nghiệm

   Bình luận