Tìm cặp số (x,y) để biểu thức P=5(2x^2-2xy+y^2) +2(y-3x+2) đạt giá trị nhỏ nhất Giúp mình với!!!! 25/09/2021 Bởi Peyton Tìm cặp số (x,y) để biểu thức P=5(2x^2-2xy+y^2) +2(y-3x+2) đạt giá trị nhỏ nhất Giúp mình với!!!!
Đáp án: $P\ge 3$ Giải thích các bước giải: Ta có: $P=5\left(2x^2-2xy+y^2\right)+2\left(y-3x+2\right)$ $\to P=10x^2-10xy+5y^2+2y-6x+4$ $\to P=10x^2-\left(10xy+6x\right)+5y^2+2y+4$ $\to P=10x^2-2x\left(5y+3\right)+5y^2+2y+4$ $\to P=10\left(x^2-2x\cdot\dfrac{5y+3}{10}\right)+5y^2+2y+4$ $\to P=10\left(x^2-2x\cdot\dfrac{5y+3}{10}+\left(\dfrac{5y+3}{10}\right)^2\right)-10\cdot \left(\dfrac{5y+3}{10}\right)^2+5y^2+2y+4$ $\to P=10\left(x-\dfrac{5y+3}{10}\right)^2+\dfrac{1}{10}\cdot\left(25y^2-10y+31\right)$ $\to P=10\left(x-\dfrac{5y+3}{10}\right)^2+\dfrac{1}{10}\cdot\left(25y^2-10y+1+30\right)$ $\to P=10\left(x-\dfrac{5y+3}{10}\right)^2+\dfrac{1}{10}\cdot\left(\left(5y-1\right)^2+30\right)$ $\to P=10\left(x-\dfrac{5y+3}{10}\right)^2+\dfrac{1}{10}\cdot\left(5y-1\right)^2+3$ $\to P\ge 3$ Dấu = xảy ra khi: $\begin{cases}x-\dfrac{5y+3}{10}=0\\5y-1=0 \end{cases}$ $\to x=\dfrac25, y=\dfrac15$ Bình luận
Đáp án: $P\ge 3$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$P=5\left(2x^2-2xy+y^2\right)+2\left(y-3x+2\right)$
$\to P=10x^2-10xy+5y^2+2y-6x+4$
$\to P=10x^2-\left(10xy+6x\right)+5y^2+2y+4$
$\to P=10x^2-2x\left(5y+3\right)+5y^2+2y+4$
$\to P=10\left(x^2-2x\cdot\dfrac{5y+3}{10}\right)+5y^2+2y+4$
$\to P=10\left(x^2-2x\cdot\dfrac{5y+3}{10}+\left(\dfrac{5y+3}{10}\right)^2\right)-10\cdot \left(\dfrac{5y+3}{10}\right)^2+5y^2+2y+4$
$\to P=10\left(x-\dfrac{5y+3}{10}\right)^2+\dfrac{1}{10}\cdot\left(25y^2-10y+31\right)$
$\to P=10\left(x-\dfrac{5y+3}{10}\right)^2+\dfrac{1}{10}\cdot\left(25y^2-10y+1+30\right)$
$\to P=10\left(x-\dfrac{5y+3}{10}\right)^2+\dfrac{1}{10}\cdot\left(\left(5y-1\right)^2+30\right)$
$\to P=10\left(x-\dfrac{5y+3}{10}\right)^2+\dfrac{1}{10}\cdot\left(5y-1\right)^2+3$
$\to P\ge 3$
Dấu = xảy ra khi:
$\begin{cases}x-\dfrac{5y+3}{10}=0\\5y-1=0 \end{cases}$
$\to x=\dfrac25, y=\dfrac15$