Tìm công thức truy hồi để tính tích phân: $I_n=$$\int\limits {\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}} \, $ $(a>0)$

Lời giải:

Ta có:

$I_0=$$\int\limits {} \, dx=x+C$
$I_1=$ $\int\limits {\frac{dx}{x^2+a^2}} \, =\frac{1}{a}.arctgx\frac{x}{a}+C$
Với $n$ $\geq$ $1$,ta đặt:
$\left \{ {{u=\frac{1}{(x^2+a^2)^n}} \atop {dv=dx}} \right.$ 
$=>$$\left \{ {{du=\frac{-2nx}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx} \atop {v=x}} \right.$
$=>I_n=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2n$ $\int\limits {\frac{x^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}} \, dx$
Ta có:
$J_n=$ $\int\limits {\frac{x^2}{(x^2+a^2)^n}} \, dx=$ $\int\limits {\frac{x^2+a^2-a^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}} \, dx=$ $\int\limits {\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}} \, dx-a^2$ $\int\limits {\frac{dx}{(x^2+a^2)^{n+1}}} \, dx=I_n-a^2I_{n+1}$
=> $I_n=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2nI_n-2na^2I_{n+1}$
Từ đó:
$I_{n+1}=\frac{x}{2na^2(x^2+a^2)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}I_n$