Tìm cực trị của hàm sau f(x,y)=xy(1-x-y)

0 bình luận về “Tìm cực trị của hàm sau f(x,y)=xy(1-x-y)”

1. Đáp án:

   \(f_{\max} = \dfrac{1}{27}\Leftrightarrow (x;y) = \left(\dfrac13;\dfrac13\right)\) 

   Giải thích các bước giải:

   \(\begin{array}{l}
   \quad f(x,y) = xy(1-x-y)\\
   \text{Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:}\\
   \quad \begin{cases}f’_x = 0\\f’_y = 0\end{cases}\\
   \Leftrightarrow \begin{cases}-y(2x+y-1) =0\\-x(x +2y – 1) =0\end{cases}\\
   \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
   \begin{cases}x = 0\\y = 0\end{cases}\\
   \begin{cases}x = 0\\y = 1\end{cases}\\
   \begin{cases}x = 1\\y = 0\end{cases}\\
   \begin{cases}x = \dfrac13\\y = \dfrac13\end{cases}
   \end{array}\right.\\
   \text{Đặt}\ \begin{cases}A = f_{xx}” = -2y\\
   B = f_{xy}” =-2x – 2y + 1\\
   C = f_{yy}” = -2x
   \end{cases}\\
   +)\quad \text{Tại $M_1(0;0)$ ta được:}\\
   \begin{cases}A = 0\\B = 1\\C = 0\end{cases}\Rightarrow B^2 – AC = 1 > 0\\
   \Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M_1(0;0)$}\\
   +)\quad \text{Tại $M_2(0;1)$ ta được:}\\
   \begin{cases}A = -2\\B = -1\\C = 0\end{cases}\Rightarrow B^2 – AC = 1 > 0\\
   \Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M_2(0;1)$}\\
   +)\quad \text{Tại $M_3(1;0)$ ta được:}\\
   \begin{cases}A = 0\\B =- 1\\C = -2\end{cases}\Rightarrow B^2 – AC = 1 > 0\\
   \Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M_3(1;0)$}\\
   +)\quad \text{Tại $M_4\left(\dfrac13;\dfrac13\right)$ ta được:}\\
   \begin{cases}A = -\dfrac23 <0\\B = -\dfrac13\\C = -\dfrac23\end{cases}\Rightarrow B^2 – AC = -\dfrac13 < 0\\
   \Rightarrow \text{Hàm số đạt cực đại tại $M_4\left(\dfrac13;\dfrac13\right),\ f_{\max} = \dfrac{1}{27}$}\\
   \end{array}\) 

   Bình luận