tìm đa thức P(x) biết: P(x) chia cho (x-1) dư 2; P(x) chia cho (x+1) dư 4 và P(x) chia cho (x^2-1) được thương là 2x và còn dư

Question

lanminhngoc · Answer

Đáp án:     Giải thích các bước giải:

minhthue · Answer

Do P(x) chia cho $(x^2-1) được thương là 2x và còn dư nên

$P(x) = 2x(x^2-1) + g(x)$

$<-> P(x) = 2x(x-1)(x+1) + g(x)$

Với $g(x)$ là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của $x^2-1$, tức là bậc của g(x) lớn nhất là 1.

Đặt $g(x) = ax + b$. Khi đó, ta có

$P(x) : (x-1) = [2x(x-1)(x+1) + g(x)]:(x-1) = 2x(x+1) + \dfrac{g(x)}{x-1}$

Do P(x) chia (x-1) dư 2 nên ta có $g(x)$ chia cho $(x-1)$ phải dư 2.

Ta có

$g(x) = a(x-1) + (b+a)$

Do đó $a + b = 2$.(1)

Làm tương tự ta có

$P(x) : (x+1) = 2x(x-1) + \dfrac{g(x)}{x+1}$

Vậy g(x) chia x+1 dư 4. Ta có

$g(x) = a(x+1) + b-a$

Do đó $b – a = 4$.(2)

Từ (1), (2) ta suy ra $a = -1, b = 3$. Vậy $g(x) = -x + 3$.

Vậy

$P(x) = 2x(x^2-1) +(-x + 3)$

$= 2x^3 -3x + 3$

Vậy $P(x) = 2x^3 – 3x + 3$.