Tìm dạng khai triển cấp số nhân lùi vô hạn (Un) biết tổng của nó là 2 căn 2 /căn 2 +1 và U2=- căn 2

Giải thích các bước giải:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là \({u_1}\) và công bội bằng \(q\) là:

\(\begin{array}{l}
{S_n} = \dfrac{{{u_1}}}{{1 – q}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{S_n} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2  + 1}};\,\,\,{u_2} =  – \sqrt 2  \Rightarrow {u_1} = \dfrac{{ – \sqrt 2 }}{q}\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2  + 1}} = \dfrac{{ – \sqrt 2 }}{{q\left( {1 – q} \right)}}\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt 2 q\left( {q – 1} \right) = \sqrt 2 \left( {\sqrt 2  + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt 2 {q^2} – 2\sqrt 2 q – \left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
q =  – \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow {u_1} = 2\\
q = 1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow {u_1} =  – \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{u_n} =u_1q^{n-1}= 2.{\left( { – \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n – 1}}\\
{u_n} = \dfrac{{ – 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}.{\left( {1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n – 1}}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy khai triển cấp số nhân lùi vô hạn $u_n$ là:

${u_n} = 2.{\left( { – \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n – 1}}$ và ${u_n} = \dfrac{{ – 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}.{\left( {1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n – 1}}$.