Tìm x để $\frac{2\sqrt x}{x – \sqrt x +1}$ nhận giá trị nguyên

0 bình luận về “Tìm x để $\frac{2\sqrt x}{x – \sqrt x +1}$ nhận giá trị nguyên”

1. Đáp án:Điều kiện:`x>=0`

   Đặt `B=(2\sqrtx)/(x-sqrtx+1)`

   Ta có:`2\sqrtx>=0AAx>=0`.

   `x-sqrtx+1`

   `=x-2*sqrtx*1/2+1/4+3/4`

   `=(sqrtx-1/2)^2+3/4>=3/4>0`

   `=>B>=0`

   `**B=0<=>x=0`

   `**x>0` chia cả tử và mẫu cho `sqrtx`

   `=>B=2/(sqrtx-1+1/sqrtx)`

   Áp dụng bđt cosi ta có:

   `sqrtx+1/sqrtx>=2`

   `=>sqrtx-1+1/sqrtx>=1>0`

   `=>B<=2`

   Mặt khác `B>0AAx>0`

   `=>0<B<=2`

   Mà `B in ZZ`

   `=>B in {1,2}`

   `**B=1`

   `<=>x-sqrtx+1=2sqrtx`

   `<=>x-3sqrtx+1=0`

   Đặt `sqrtx=a(a>0)`

   `pt<=>a^2-3a+1=0`

   Ta có:`Delta=9-4=5`

   `<=>` \(\left[ \begin{array}{l}a=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\a=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\end{array} \right.\) 

   `<=>` \(\left[ \begin{array}{l}a=\dfrac{3-\sqrt5}{2}\\a=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\end{array} \right.\) 

   `<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=\Big(\dfrac{3-\sqrt5}{2}\Big)\\x=\Big(\dfrac{3+\sqrt5}{2}\Big)^2\end{array} \right.\) 

   `**B=2`

   `<=>2x-2sqrtx+2=2sqrt2`

   `<=>2x-4sqrtx+2=0`

   `<=>x-2sqrt+1=0`

   `<=>(sqrtx-1)^2=0`

   `<=>x=1`

   Vậy `x in {1,0,(3+sqrt5)/2,(3-sqrt5)/2}`.

   Bình luận