Tìm điều khiển của số n để phân số 2n-1/6n+8 rút gọn được

Lời giải:

Gọi `d` là ước chung của `2n – 1` và `6n + 8` `(d ∈ ZZ`, `d` $\neq$ `0)`

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}2n – 1 \vdots d\\6n + 8 \vdots d\end{array} \right.$

`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}3(2n – 1) \vdots d\\6n + 8 \vdots d\end{array} \right.$

`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}6n – 3 \vdots d\\6n + 8 \vdots d\end{array} \right.$

`⇒ (6n + 8) – (6n – 3) \vdots d`

`⇒ 6n + 8 – 6n + 3 \vdots d`

`⇒ 11 \vdots d`. 

Mà `d ∈ ZZ`, `d` $\neq$ `0`

`⇒ d ∈ Ư (11) = { ±1 ; ±11 }`

Để phân số `(2n – 1)/(6n + 8)` rút gọn được `⇔ d = ±11` 

`⇒ 2n – 1 \vdots 11`

`⇒ 2n – 1 – 11 \vdots 11`

`⇒ 2n – 12 \vdots 11`

`⇒ 2(n – 6) \vdots 11`

Mà `(2, 11) = 1` `⇒ n – 6 \vdots 11`

                        `⇒ n – 6 = 11k` `(k ∈ ZZ)`

                        `⇒ n = 11k + 6`  `(k ∈ ZZ)` (thỏa mãn)

Vậy với `n = 11k + 6` `(k ∈ ZZ)` thì phân số `(2n – 1)/(6n + 8)` có thể rút gọn.