tìm điều kiện m để phương trình msinx+(m+1)cosx=m/cosx 19/09/2021 Bởi Ruby tìm điều kiện m để phương trình msinx+(m+1)cosx=m/cosx
ĐK: $\cos x \neq 0$ hay $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ Ptrinh tương đương vs $m\sin x \cos x + (m+1) \cos^2x = m$ $<-> \dfrac{m}{2} \sin(2x) + (m+1) \dfrac{1 + \cos(2x)}{2} = m$ $<-> m\sin(2x) + (m+1)(1 + \cos(2x)) = 2m$ $<-> m\sin(2x) + (m+1)\cos(2x) = m – 1$ Chia cả 2 vế cho $\sqrt{m^2 + (m+1)^2}$ ta có $\dfrac{m}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}} \sin(2x) + \dfrac{m+1}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}} \cos(2x) = \dfrac{m-1}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}}$ Đặt $\cos a = \dfrac{m}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}}$, $\sin a = \dfrac{m+1}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}}$, khi đó ptrinh trở thành $\sin(2x + a) = \dfrac{m-1}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}}$ Để ptrinh có nghiệm thì $-1 \leq \dfrac{m-1}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}} \leq 1$ TH1: $\dfrac{m-1}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}} \geq -1$ Ptrinh tương đương vs $m-1 \geq -\sqrt{m^2 + (m+1)^2}$ $<-> 1 – m \leq \sqrt{m^2 + (m+1)^2}$ Với $m \geq 1$ thì ptrinh thỏa mãn với mọi m. Với $m <1$, bình phương 2 vế ta có $(1-m)^2 \leq m^2 + m^2 + 2m + 1$ $<-> m^2 – 2m + 1 \leq 2m^2 + 2m + 1$ $<-> m^2 + 4m \geq 0$ Vậy $m \geq 0$ hoặc $m \leq -4$ Kết hợp đk ta có $m \geq 1$ hoặc $ 0 \leq m <1$ hoặc $m \leq -4$ TH2: $\dfrac{m-1}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}} \leq 1$ Nhân cả 2 vế với $\sqrt{m^2 + (m+1)^2}$ ta được $m-1 \leq \sqrt{m^2 + (m+1)^2}$ Với $m \leq 1$, ptrinh luôn thỏa mãn Với $m > 1$, bình phương 2 vế ta có $m^2 – 2m + 1 \leq 2m^2 + 2m + 1$ $<-> m^2 + 4m \geq 0$ Vậy $m \geq 0$ hoặc $m \leq -4$ Kết hợp vs đk ta có $m >1$ Vậy đk để ptrinh có nghiệm là $m \geq 1$ hoặc $ 0 \leq m <1$ hoặc $m \leq -4$ hoặc $m>1$. Bình luận
ĐK: $\cos x \neq 0$ hay $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
Ptrinh tương đương vs
$m\sin x \cos x + (m+1) \cos^2x = m$
$<-> \dfrac{m}{2} \sin(2x) + (m+1) \dfrac{1 + \cos(2x)}{2} = m$
$<-> m\sin(2x) + (m+1)(1 + \cos(2x)) = 2m$
$<-> m\sin(2x) + (m+1)\cos(2x) = m – 1$
Chia cả 2 vế cho $\sqrt{m^2 + (m+1)^2}$ ta có
$\dfrac{m}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}} \sin(2x) + \dfrac{m+1}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}} \cos(2x) = \dfrac{m-1}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}}$
Đặt $\cos a = \dfrac{m}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}}$, $\sin a = \dfrac{m+1}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}}$, khi đó ptrinh trở thành
$\sin(2x + a) = \dfrac{m-1}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}}$
Để ptrinh có nghiệm thì $-1 \leq \dfrac{m-1}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}} \leq 1$
TH1: $\dfrac{m-1}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}} \geq -1$
Ptrinh tương đương vs
$m-1 \geq -\sqrt{m^2 + (m+1)^2}$
$<-> 1 – m \leq \sqrt{m^2 + (m+1)^2}$
Với $m \geq 1$ thì ptrinh thỏa mãn với mọi m.
Với $m <1$, bình phương 2 vế ta có
$(1-m)^2 \leq m^2 + m^2 + 2m + 1$
$<-> m^2 – 2m + 1 \leq 2m^2 + 2m + 1$
$<-> m^2 + 4m \geq 0$
Vậy $m \geq 0$ hoặc $m \leq -4$
Kết hợp đk ta có $m \geq 1$ hoặc $ 0 \leq m <1$ hoặc $m \leq -4$
TH2: $\dfrac{m-1}{\sqrt{m^2 + (m+1)^2}} \leq 1$
Nhân cả 2 vế với $\sqrt{m^2 + (m+1)^2}$ ta được
$m-1 \leq \sqrt{m^2 + (m+1)^2}$
Với $m \leq 1$, ptrinh luôn thỏa mãn
Với $m > 1$, bình phương 2 vế ta có
$m^2 – 2m + 1 \leq 2m^2 + 2m + 1$
$<-> m^2 + 4m \geq 0$
Vậy $m \geq 0$ hoặc $m \leq -4$
Kết hợp vs đk ta có $m >1$
Vậy đk để ptrinh có nghiệm là $m \geq 1$ hoặc $ 0 \leq m <1$ hoặc $m \leq -4$ hoặc $m>1$.