Tìm giá trị của biểu thức C với điều kiện x > 1 C = $\dfrac{x^{2}}{x-1}$ (x $\neq$ 0; x $\neq$ ± 1) 28/10/2021 Bởi Eliza Tìm giá trị của biểu thức C với điều kiện x > 1 C = $\dfrac{x^{2}}{x-1}$ (x $\neq$ 0; x $\neq$ ± 1)
$C=\dfrac{x^2}{x-1}$ $=\dfrac{x^2-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}$ $=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}$ $=x+1+\dfrac{1}{x-1}$ $=x-1+\dfrac{1}{x-1}+2$ Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho $x-1;\dfrac{1}{x-1}>0$ $⇒x-1+\dfrac{1}{x-1}≥2.\sqrt[]{(x-1).\dfrac{1}{x-1}}=2.1=2$$⇒x-1+\dfrac{1}{x-1}+2≥4$ hay $C≥4$ Dấu $=$ xảy ra $⇔(x-1)^2=1⇔x-1=1⇔x=2(t/m)$ Bình luận
Đáp án: $C_{min} = 4$ tại $x=2$ Giải thích các bước giải: $\text{Bạn bổ sung đề, bài này là tìm Giá trị nhỏ nhất nhé bạn !}$ Ta có $C = \dfrac{x^2}{x-1} = \dfrac{(x^2-1)+1}{x-1}$ $ = \dfrac{(x-1).(x+1)+1}{x-1} = (x+1) + \dfrac{1}{x-1}$ $ = \bigg[(x-1)+\dfrac{1}{x-1}\bigg] + 2$ Vì $x>1 ⇒ \left\{ \begin{array}{l}x-1>0\\\dfrac{1}{x-1}>0\end{array} \right.$ Ta đi chứng minh $BĐT$ phụ sau : $a+\dfrac{1}{a} ≥ 2 (a > 0)$ ( BĐT này được phát biểu như sau : Tổng nghịch đảo hai số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng $2$ ) Thật vậy, $BĐT$ cần chứng minh trở thành : $a+\dfrac{1}{a}-2 ≥ 0 $ $⇔ \dfrac{a^2+1-2a}{a} ≥ 0 $ $⇔ \dfrac{(a-1)^2}{a} ≥ 0 $ ( Đúng với $a>0$ ) Dấu “=” xảy ra $⇔a=\dfrac{1}{a} ⇔ a=1$ Vậy ta có $a+\dfrac{1}{a} ≥ 2$ với $a>0$ Áp dụng vào bài toán trên với $x-1>0$ và $\dfrac{1}{x-1}>0$ ta có : $(x-1)+\dfrac{1}{x-1} ≥ 2 ⇒ \bigg[(x-1)+\dfrac{1}{x-1}\bigg] +2 ≥ 4$ Hay $C ≥ 4$ Dấu “=” xảy ra $⇔ x-1=\dfrac{1}{x-1} ⇔ (x-1)^2=1$ $⇔x-1=1$ ( Do $x-1>0$ ) $⇔x=2$ Vậy $C_{min} = 4$ tại $x=2$ Bình luận
$C=\dfrac{x^2}{x-1}$
$=\dfrac{x^2-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}$
$=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}$
$=x+1+\dfrac{1}{x-1}$
$=x-1+\dfrac{1}{x-1}+2$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho $x-1;\dfrac{1}{x-1}>0$
$⇒x-1+\dfrac{1}{x-1}≥2.\sqrt[]{(x-1).\dfrac{1}{x-1}}=2.1=2$
$⇒x-1+\dfrac{1}{x-1}+2≥4$
hay $C≥4$
Dấu $=$ xảy ra $⇔(x-1)^2=1⇔x-1=1⇔x=2(t/m)$
Đáp án: $C_{min} = 4$ tại $x=2$
Giải thích các bước giải:
$\text{Bạn bổ sung đề, bài này là tìm Giá trị nhỏ nhất nhé bạn !}$
Ta có $C = \dfrac{x^2}{x-1} = \dfrac{(x^2-1)+1}{x-1}$
$ = \dfrac{(x-1).(x+1)+1}{x-1} = (x+1) + \dfrac{1}{x-1}$
$ = \bigg[(x-1)+\dfrac{1}{x-1}\bigg] + 2$
Vì $x>1 ⇒ \left\{ \begin{array}{l}x-1>0\\\dfrac{1}{x-1}>0\end{array} \right.$
Ta đi chứng minh $BĐT$ phụ sau :
$a+\dfrac{1}{a} ≥ 2 (a > 0)$ ( BĐT này được phát biểu như sau : Tổng nghịch đảo hai số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng $2$ )
Thật vậy, $BĐT$ cần chứng minh trở thành :
$a+\dfrac{1}{a}-2 ≥ 0 $
$⇔ \dfrac{a^2+1-2a}{a} ≥ 0 $
$⇔ \dfrac{(a-1)^2}{a} ≥ 0 $ ( Đúng với $a>0$ )
Dấu “=” xảy ra $⇔a=\dfrac{1}{a} ⇔ a=1$
Vậy ta có $a+\dfrac{1}{a} ≥ 2$ với $a>0$
Áp dụng vào bài toán trên với $x-1>0$ và $\dfrac{1}{x-1}>0$ ta có :
$(x-1)+\dfrac{1}{x-1} ≥ 2 ⇒ \bigg[(x-1)+\dfrac{1}{x-1}\bigg] +2 ≥ 4$
Hay $C ≥ 4$
Dấu “=” xảy ra $⇔ x-1=\dfrac{1}{x-1} ⇔ (x-1)^2=1$
$⇔x-1=1$ ( Do $x-1>0$ )
$⇔x=2$
Vậy $C_{min} = 4$ tại $x=2$