Tìm giá trị lớn nhất của:
(1- (1- $\frac{1}{x^2}$)(1-$\frac{1}{y^2}$) ;với x+y=1
Mọi người giúp mình với, mình sắp thi tuyển sinh rồi. Thks mọi người ạ!!
Tìm giá trị lớn nhất của:
(1- (1- $\frac{1}{x^2}$)(1-$\frac{1}{y^2}$) ;với x+y=1
Mọi người giúp mình với, mình sắp thi tuyển sinh rồi. Thks mọi người ạ!!
Đáp án:
max = 8
Giải thích các bước giải:
biểu thức P = [1-(1-$\dfrac{1}{x²}$ )(1-$\dfrac{1}{y²}$)] = 1-1+$\dfrac{1}{x²}$+$\dfrac{1}{y²}$-$\dfrac{1}{x²y²}$
= $\dfrac{x²+y²}{x²y²}$-$\dfrac{1}{x²y²}$ = $\dfrac{(x+y)²-2xy}{x²y²}$-$\dfrac{1}{x²y²}$
= $\dfrac{1-2xy}{x²y²}$-$\dfrac{1}{x²y²}$ = $\dfrac{-2}{xy}$
với x+y=1 và (x-y)² ≥ 0 ⇔ (x+y)² ≥ 4xy ⇔ 1 ≥ 4xy ⇔ xy ≤ $\dfrac{1}{4}$
⇒ P = $\dfrac{-2}{xy}$ ≤ 8
dấu = xảy ra ⇔ xy = $\dfrac{1}{4}$ và x+y=1 ⇒ x = y = $\dfrac{1}{2}$