tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = 2x + √(1-4x-5 $x^{2}$) với -1 ≤ x ≤ $\frac{1}{5}$

0 bình luận về “tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = 2x + √(1-4x-5 $x^{2}$) với -1 ≤ x ≤ $\frac{1}{5}$”

1. Ta có

   $1 – 4x – 5x^2 = (1+x)(1-5x)$

   Khi đó, ta có

   $(\sqrt{1+x} – \sqrt{1 – 5x})^2 = 2 – 4x -2\sqrt{(1+x)(1-5x)}$

   $= 2-2(2x + 2\sqrt{1 – 4x – 5x^2})$

   $= 2-2A$

   Vậy $A = \dfrac{2 – (\sqrt{1+x} – \sqrt{1-5x})^2}{2}$

   Lại có

   $(\sqrt{1+x} – \sqrt{1-5x})^2 \geq 0$

   $<-> 2 – (\sqrt{1+x} – \sqrt{1-5x})^2 \leq 2$

   $<-> A = \dfrac{2 – (\sqrt{1+x} – \sqrt{1-5x})^2}{2} \leq 1$

   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

   $\sqrt{1+x} – \sqrt{1-5x} = 0$

   $<-> 1 + x = 1 – 5x$

   $<-> x = 0$

   Vậy GTLN của A là 1 khi $x = 0$.

   Bình luận

2. Đáp án:

   Giá trị lớn nhất của A = 1 khi x = 0

    

   Giải thích các bước giải:

   A = 2x + √(1 – 4x – 5x²) = 2x + √(1 + x – 5x – 5x²) = 2x + √[(1 + x) – 5x(1 + x)] = 2x + √(1 + x)(1 – 5x)

   với -1 ≤ x ≤ 1/5 thì x + 1 ≥ 0 và 1 – 5x ≥ 0

   2A = 4x + 2√(1 + x)(1 – 5x)

   = 2 – [(1 + x) + (1 – 5x) – 2√(1 + x)(1 – 5x)]

   = 2 – [√(1 + x)² + √(1 – 5x)² – 2√(1 + x)(1 – 5x)]

   = 2 – [√(1 + x) – √(1 – 5x)]² ≤ 2

   ⇔ A ≤ 1

   ⇔ MaxA = 1 xảy ra khi √(1 + x) – √(1 – 5x)] = 0 ⇔ √(1 + x) = √(1 – 5x)  ⇔ 1 + x = 1 – 5x ⇔ 6x = 0 ⇔ x = 0 (thỏa điều kiện -1  ≤ x ≤ 1/5

    

    

    

   Bình luận