Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức `H =( 3x – 2y)^2 – (4y – 6x)^2 – |xy -24 |`

0 bình luận về “Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức `H =( 3x – 2y)^2 – (4y – 6x)^2 – |xy -24 |`”

1. Ta có: `(4y-6x)^2`

   `=[-2(3x-2y)]^2`

   `=(-2)^2.(3x-2y)^2`

   `=4(3x-2y)^2`

   `⇒H=(3x-2y)^2-4(3x-2y)^2-|xy-24|`

   `⇒H=-3(3x-2y)^2-|xy-24|`

   Vì: `(3x-2y)^2;|xy-24|≥0` `∀x;y`

   `⇒-3(3x-2y)^2;-|xy-24|≤0`

   `⇒H≤0`

   Dấu bằng xảy ra khi :

   $\begin{cases}(3x-2y)^2=0\\|xy-24|=0\end{cases}$

   $\begin{cases}3x-2y=0\\xy-24=0\end{cases}$

   $\begin{cases}3x=2y\\xy=24\end{cases}$

   $\begin{cases}x=\dfrac{2y}{3}\\xy=24\end{cases}$
   `⇒{2y}/3.y=24`

   `⇒{2y^2}/3=24`

   `⇒2y^2=72`

   `⇒y^2=36`

   `⇒y=±6`

   `xy=24⇒x=±4`

   Vậy `(x;y)=(4;6);(-4;-6)`

   Bình luận

2. Ta có :

   `H = (3x-2y)^2 – (4y-6x)^2 – |xy-24|`

   `=> H =( 3x-2y)^2 – 4. (3x- 2y^2) – |xy-24|`

   `=> H = (3x-2y)^2(1-4) – |xy-24|`

   `=> H = -3 . (3x- 2y)^2 – |xy-24|`

   Nhận thấy :

   `(3x-2y)^2 \ge 0 => -3 (3x-2y)^2 \le 0`

   `|xy-24| \ge 0 => -|xy-24| \le 0`

   `=> H = -3(3x-2y)^2 – |xy-24| \le 0`

   Dấu `\text{“=”}` xảy ra :

   `<=>` $\begin{cases} 3x – 2y = 0 \\ xy – 24 = 0 \end{cases}$

   `<=>` $\begin{cases} 3x = 2y \\ xy  = 24 \end{cases}$

   `<=>` $\begin{cases} \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} \\ xy= 24 \end{cases}$

   Đặt `x/2 = y/3 = k`

   `=> ` $\begin{cases} x = 2k \\ y = 3k \end{cases}$

   `=> x . y = 2k . 3k =6k^2 = 24`

   `=> k^2 = 4`

   `=> k =±2`

   Với `k = 2`

   `=>` $\begin{cases} x = 2 . 2 = 4 \\ y = 3 . 2 = 6 \end{cases}$

   Với `k = -2`

   `=>` $\begin{cases} x = 2 . (-2) =- 4 \\ y = 3 . (-2) = -6 \end{cases}$

   Vậy $\text{Max}_{\large \text{H}} = 0$ tại `(x ; y) \in (4 ; 6) ; (-4 ; -6 )`  

   Bình luận