Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức `H =( 3x – 2y)^2 – (4y – 6x)^2 – |xy -24 |`

Ta có :

`H = (3x-2y)^2 – (4y-6x)^2 – |xy-24|`

`=> H =( 3x-2y)^2 – 4. (3x- 2y^2) – |xy-24|`

`=> H = (3x-2y)^2(1-4) – |xy-24|`

`=> H = -3 . (3x- 2y)^2 – |xy-24|`

Nhận thấy :

`(3x-2y)^2 \ge 0 => -3 (3x-2y)^2 \le 0`

`|xy-24| \ge 0 => -|xy-24| \le 0`

`=> H = -3(3x-2y)^2 – |xy-24| \le 0`

Dấu `\text{“=”}` xảy ra :

`<=>` $\begin{cases} 3x – 2y = 0 \\ xy – 24 = 0 \end{cases}$

`<=>` $\begin{cases} 3x = 2y \\ xy  = 24 \end{cases}$

`<=>` $\begin{cases} \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} \\ xy= 24 \end{cases}$

Đặt `x/2 = y/3 = k`

`=> ` $\begin{cases} x = 2k \\ y = 3k \end{cases}$

`=> x . y = 2k . 3k =6k^2 = 24`

`=> k^2 = 4`

`=> k =±2`

Với `k = 2`

`=>` $\begin{cases} x = 2 . 2 = 4 \\ y = 3 . 2 = 6 \end{cases}$

Với `k = -2`

`=>` $\begin{cases} x = 2 . (-2) =- 4 \\ y = 3 . (-2) = -6 \end{cases}$

Vậy $\text{Max}_{\large \text{H}} = 0$ tại `(x ; y) \in (4 ; 6) ; (-4 ; -6 )`