tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y= √1+2cos ^2 x + $\frac{1}{2}$ √5+2sin^2x help me . 21/08/2021 Bởi Faith tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y= √1+2cos ^2 x + $\frac{1}{2}$ √5+2sin^2x help me .
Đáp án: $y\le\sqrt{10}$ Giải thích các bước giải: Ta có: $y=\sqrt{1+2\cos^2x}+\dfrac12\sqrt{5+2\sin^2x}$ $\to y^2=(\sqrt{1+2\cos^2x}+\dfrac12\sqrt{5+2\sin^2x})^2$ $\to y^2\le (1^2+(\dfrac12)^2)(1+2\cos^2x+5+2\sin^2x)$ (BĐT Bunhiacopxki) $\to y^2\le 10$ $\to y\le \sqrt{10}$ Dấu = xảy ra khi: $\dfrac{\sqrt{1+2\cos^2x}}{1}=\dfrac{\sqrt{5+2\sin^2x}}{\dfrac12}$ $\to 2\sqrt{1+2\cos^2x}=\sqrt{5+2\sin^2x}$ $\to 4(1+\cos^2x)=5+2\sin^2x$ $\to 4+4\cos^2x=5+2(1-\cos^2x)$ $\to 4+4\cos^2x=7-2\cos^2x$ $\to 6\cos^2x=3$ $\to \cos^2x=\dfrac12$ $\to \cos x=\pm\sqrt{\dfrac12}$ $\to x\in\{\dfrac{\pi}{4}+k\pi\}$ Bình luận
Đáp án: $y\le\sqrt{10}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$y=\sqrt{1+2\cos^2x}+\dfrac12\sqrt{5+2\sin^2x}$
$\to y^2=(\sqrt{1+2\cos^2x}+\dfrac12\sqrt{5+2\sin^2x})^2$
$\to y^2\le (1^2+(\dfrac12)^2)(1+2\cos^2x+5+2\sin^2x)$ (BĐT Bunhiacopxki)
$\to y^2\le 10$
$\to y\le \sqrt{10}$
Dấu = xảy ra khi:
$\dfrac{\sqrt{1+2\cos^2x}}{1}=\dfrac{\sqrt{5+2\sin^2x}}{\dfrac12}$
$\to 2\sqrt{1+2\cos^2x}=\sqrt{5+2\sin^2x}$
$\to 4(1+\cos^2x)=5+2\sin^2x$
$\to 4+4\cos^2x=5+2(1-\cos^2x)$
$\to 4+4\cos^2x=7-2\cos^2x$
$\to 6\cos^2x=3$
$\to \cos^2x=\dfrac12$
$\to \cos x=\pm\sqrt{\dfrac12}$
$\to x\in\{\dfrac{\pi}{4}+k\pi\}$