Tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của các biểu thức sau :
1.A= $\sqrt{x^2-9x+11}$
2.B= $\sqrt{4x^2-4x+2}$
3.C= $\sqrt{2x^2-2x+3}$
Tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của các biểu thức sau :
1.A= $\sqrt{x^2-9x+11}$
2.B= $\sqrt{4x^2-4x+2}$
3.C= $\sqrt{2x^2-2x+3}$
Đáp án:
\(\eqalign{
& a)\,\,GTNN\,\,A\,\,bang\,\,0 \Leftrightarrow x = {{9 \pm \sqrt {37} } \over 2} \cr
& b)\,\,GTNN\,\,B\,\,bang\,\,1 \Leftrightarrow x = {1 \over 4} \cr
& c)\,\,GTNN\,\,C\,\,bang\,\,{{\sqrt {10} } \over 2} \Leftrightarrow x = {1 \over 2} \cr} \)
Giải thích các bước giải:
$$\eqalign{
& a)\,\,A = \sqrt {{x^2} – 9x + 11} \cr
& DKXD:\,\,{x^2} – 9x + 11 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \ge {{9 + \sqrt {37} } \over 2} \hfill \cr
x \le {{9 – \sqrt {37} } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr
& {x^2} – 9x + 11 = {x^2} – 2.x.{9 \over 2} + {{81} \over 4} – {{37} \over 4} \cr
& = {\left( {x – {9 \over 2}} \right)^2} – {{37} \over 4} \cr
& Ta\,\,co:\,\, \cr
& + )\,\,x \ge {{9 + \sqrt {37} } \over 2} \Leftrightarrow x – {9 \over 2} \ge {{\sqrt {37} } \over 2} \cr
& + )\,\,x \le {{9 – \sqrt {37} } \over 2} \Leftrightarrow x – {9 \over 2} \le {{ – \sqrt {37} } \over 2} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x – {9 \over 2}} \right)^2} \ge {{37} \over 4} \Leftrightarrow {\left( {x – {9 \over 2}} \right)^2} – {{37} \over 4} \ge 0 \cr
& \Rightarrow A \ge 0 \cr
& Vay\,\,GTNN\,\,A\,\,bang\,\,0 \Leftrightarrow x = {{9 \pm \sqrt {37} } \over 2} \cr
& b)\,\,B = \sqrt {4{x^2} – 4x + 2} \cr
& B = \sqrt {{{\left( {4x – 1} \right)}^2} + 1} \ge 1 \cr
& \Rightarrow GTNN\,\,B\,\,bang\,\,1 \Leftrightarrow x = {1 \over 4} \cr
& c)\,\,C = \sqrt {2{x^2} – 2x + 3} \cr
& C = \sqrt 2 \sqrt {{x^2} – x + {3 \over 2}} \cr
& = \sqrt 2 \sqrt {{x^2} – 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {5 \over 4}} \cr
& = \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {x – {1 \over 2}} \right)}^2} + {5 \over 4}} \cr
& {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} + {5 \over 4} \ge {5 \over 4} \cr
& \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x – {1 \over 2}} \right)}^2} + {5 \over 4}} \ge {{\sqrt 5 } \over 2} \cr
& \Rightarrow C \ge {{\sqrt {10} } \over 2} \cr
& \Rightarrow GTNN\,\,C\,\,bang\,\,{{\sqrt {10} } \over 2} \Leftrightarrow x = {1 \over 2} \cr} $$