Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y= sinx + cosx + 2sinxcosx – 1 09/08/2021 Bởi aihong Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y= sinx + cosx + 2sinxcosx – 1
Ta có $y = \sin x + \cos x + 2\sin x \cos x -1$ $= \sqrt{2} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) + (1 + 2\sin x \cos x) -2$ $= \sqrt{2} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) + (\sin x + \cos x)^2 – 2$ $= 2\sin^2\left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) + \sqrt{2} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) – 2$ Đặt $t = \sqrt{2}\sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right)$, khi đó $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Ta cần tìm GTLN và GTNN của hso $y = t^2 + t – 2$ trên đoạn $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ Đỉnh của parabol này là $\left( -\dfrac{1}{2}, -\dfrac{9}{4} \right)$ Ta có $y(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}, y(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$ Ta có $-\dfrac{9}{4} < -\sqrt{2}$. Vậy GTNN của hso là $-\dfrac{9}{4}$ đạt đc tại $t = -\dfrac{1}{2}$ $<-> \sqrt{2} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) = -\dfrac{1}{2}$ $<-> \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ $<->x + \dfrac{\pi}{4} = \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) + 2k\pi$ hoặc $x + \dfrac{\pi}{4} = \pi – \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) + 2k\pi $<-> x = \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) – \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} – \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) + 2k\pi$ và GTLN của hso là $\sqrt{2}$, đạt đc tại $t = \sqrt{2}$ $<-> \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) = 1$ $<-> x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ $<-> x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$. Vậy GTNN của hso là $-\dfrac{9}{4}$ đạt đc khi $x = \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) – \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} – \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) + 2k\pi$ và GTLN của hso là $\sqrt{2}$ đạt đc khi $x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$. Bình luận
Ta có
$y = \sin x + \cos x + 2\sin x \cos x -1$
$= \sqrt{2} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) + (1 + 2\sin x \cos x) -2$
$= \sqrt{2} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) + (\sin x + \cos x)^2 – 2$
$= 2\sin^2\left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) + \sqrt{2} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) – 2$
Đặt $t = \sqrt{2}\sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right)$, khi đó $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Ta cần tìm GTLN và GTNN của hso
$y = t^2 + t – 2$
trên đoạn $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$
Đỉnh của parabol này là $\left( -\dfrac{1}{2}, -\dfrac{9}{4} \right)$
Ta có
$y(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}, y(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$
Ta có $-\dfrac{9}{4} < -\sqrt{2}$.
Vậy GTNN của hso là $-\dfrac{9}{4}$ đạt đc tại
$t = -\dfrac{1}{2}$
$<-> \sqrt{2} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) = -\dfrac{1}{2}$
$<-> \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
$<->x + \dfrac{\pi}{4} = \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) + 2k\pi$ hoặc $x + \dfrac{\pi}{4} = \pi – \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) + 2k\pi
$<-> x = \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) – \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} – \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) + 2k\pi$
và GTLN của hso là $\sqrt{2}$, đạt đc tại
$t = \sqrt{2}$
$<-> \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) = 1$
$<-> x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
$<-> x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$.
Vậy GTNN của hso là $-\dfrac{9}{4}$ đạt đc khi $x = \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) – \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} – \arcsin \left( -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right) + 2k\pi$ và GTLN của hso là $\sqrt{2}$ đạt đc khi $x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$.
Bạn tham khảo !!