Tìm giá trị nhỏ nhất: x ² + 26y ² – 10xy +14x -76y +59

Đáp án:

$\min(x^2 + 26y^2 – 10xy + 14x – 76y + 59) = 1 \Leftrightarrow (x;y)=(8;3)$

Giải thích các bước giải:

$x^2 + 26y^2 – 10xy + 14x – 76y + 59$

$= (x^2 – 2.x.5y + 25y^2 + 2.7x – 2.7.5y + 49) + (y^2 – 2.3y + 9)+ 1$

$= (x – 5y + 7)^2 + (y-3)^2 + 1$

Ta có:

$\begin{cases}(x-5y+7)^2 \geq 0\quad \forall x;y\\(y-3)^2 \geq 0\quad \forall y\end{cases}$

Do đó:

$(x – 5y + 7)^2 + (y-3)^2 + 1\geq 1$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x – 5y + 7 = 0\\y – 3 = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x = 8\\y = 3\end{cases}$

Vậy $\min(x^2 + 26y^2 – 10xy + 14x – 76y + 59) = 1 \Leftrightarrow (x;y)=(8;3)$