Tìm giá trị nhỏ nhất A=x^2+y^2+z^2-yz-4x-3y+2027

0 bình luận về “Tìm giá trị nhỏ nhất A=x^2+y^2+z^2-yz-4x-3y+2027”

1. A = x^2+y^2+z^2-yz-4x-3y+2027

   => 4A = 4x^2+4y^2+4z^2-4yz-16x-12y+8108

               = 4x^2-16x+16+3y^2+12y+12+y^2-4yz+4z^2+8080

               = 4(x-2)^2 + 3(y+2)^2 + (y-2z)^2 + 8080

   Ta có :

        4(x-2)^2 ≥ 0 ∀x

        3(y+2)^2 ≥ 0 ∀x

        (y-2z)^2 ≥ 0 ∀x

   =>  4(x-2)^2 + 3(y-2)^2 + (y-2z)^2 + 8080 ≥ 8080 ∀x

             hay 4M ≥ 8080 ∀x

                       => M ≥ 2020 ∀x

   Dấu ” = ” xảy ra khi

        +) 4(x-2)^2 = 0 => x = 2

        +) 3(y-2)^2 = 0 => y = 2

        +) (y-2z)^2 = 0 => 2z = 2 => z = 1

   Vậy GTNN của M = 2020 khi x = 2 ; y = 2 ; z = 1

   Bình luận

2. Đáp án:

   `↓↓` 

   Giải thích các bước giải:

   `A=x^2+y^2+z^2-yz-4x-3y+2027`

   `4A=4x^2+4y^2+4z^2-4yz-16x-12y+8108`

   `=(4x^2-16x+16)+(3y^2-12y+12)+(y^2-4yz+4z^2)+8080`

   `=4(x^2-4x+4)+3(y^2-4y+4)+(y-2z)^2+8080`

   `=4(x-2)^2+3(y-2)^2+(y-2z)^2+8080`

   Ta có: $\left\{\begin{matrix}4(x-2)^2≥0& \\3(y-2)^2≥0&\\(y-2z)^2 ≥0& \end{matrix}\right.$

   `=> 4(x-2)^2+3(y-2)^2+(y-2z)^2>=0`

   `=> 4(x-2)^2+3(y-2)^2+(y-2z)^2+8080>=8080`

   `=> A>=2020`

   Dấu “=” xảy ra `<=>`  $\left\{\begin{matrix}4(x-2)^2=0& \\3(y-2)^2=0&\\(y-2z)^2 =0& \end{matrix}\right.$

   `=>`  $\left\{\begin{matrix}x=2& \\\y=2 \\y=2z& \end{matrix}\right.$

   `=>`  $\left\{\begin{matrix}x=2& \\y=2 \\z=1& \end{matrix}\right.$

   Vậy `A_(min)=2020 <=> x=2, y=2, z=1`

   Bình luận