tìm giá trị nhỏ nhất của (3-x)(3-y) biết x^2+y^2=1 Cho x,y là số thuộc R

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có $: (x + y)² ≤ 2(x² + y²) = 2.1 = 2$

$ ⇒ – \sqrt{2} ≤ x + y ≤ \sqrt{2} ⇔ – \sqrt{2} ≤ – (x + y) ≤ \sqrt{2}$

$ ⇒ 0 < 3 – \sqrt{2} ≤ 3 – (x + y) ≤ 3 + \sqrt{2}$

Đặt $: A = (3- x)(3 – y)$

$ ⇒ 2A = 2(3 – x)(3 – y) = 2(9 – 3x – 3y + xy)$

$ = 18 – 6(x + y) + 2xy = 17 + 1 + 2xy – 6(x + y)$

$ = 17 + (x² + y² + 2xy) – 6(x + y) $

$ = 8 + (x + y)² – 6(x + y) + 9$

$ = 8 + [3 – (x + y)]² ≥ 8 + (3 – \sqrt{2})² = 19 – 6\sqrt{2}$

$ ⇒ A ≥ \dfrac{19 – 6\sqrt{2}}{2}$

Vậy $GTNN$ của $A = \dfrac{19 – 6\sqrt{2}}{2}$

xảy ra khi $: x = y; x² + y² = 1 ⇔ x = y = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$