Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|

0 bình luận về “Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Áp dụng $BĐT GTTĐ : |a| + |b| ≥ |a – b| $

   Dấu $’=’$ xảy ra khi $ ab ≤ 0$ ta có:

   $ |x – 2| + |x – 5| ≥ |(x – 2) – (x – 5)| = |3| = 3 (1)$

   Dấu $’=’$ xảy ra khi $ (x – 2)(x – 5) ≤ 0$

   $ ⇔ x² – 7x + 10 ≤ 0 ⇔ 4x² – 28x + 40 ≤ 0$

   $ ⇔ (2x – 7)² – 9 ≤ 0 ⇔ (2x – 7)² ≤ 9$

   $ ⇔ – 3 ≤ 2x – 7 ≤ 3 ⇔ 4 ≤ 2x ≤ 10 ⇔ 2 ≤ x ≤ 5 (2)$

   $ |x – 3| + |x – 4| ≥ |(x – 3) – (x – 4)| = |1| = 1 (3)$

   Dấu $’=’$ xảy ra khi $ (x – 3)(x – 4) ≤ 0$

   $ ⇔ x² – 7x + 12 ≤ 0 ⇔ 4x² – 28x + 48 ≤ 0$

   $ ⇔ (2x – 7)² – 1 ≤ 0 ⇔ (2x – 7)² ≤ 1$

   $ ⇔ – 1 ≤ 2x – 7 ≤ 1 ⇔ 6 ≤ 2x ≤ 8 ⇔ 3 ≤ x ≤ 4 (4)$

   $ (1) + (2) : A = |x – 2| + |x – 3| + |x – 4| + |x – 5| ≥ 4$

   $ ⇒ GTNN$ của $A = 4 $ khi $x$ thỏa mãn đồng thời $(2); (4) ⇔ 3 ≤ x ≤ 4$

   Bình luận

2. Đáp án:

   `GTNNNN` của `|x – 2| + |x – 3| + |x – 4| + |x – 5|` là `4` `⇔ 3 ≤ x ≤ 4`

   Giải thích các bước giải:

   Gọi `A = |x – 2| + |x – 3| + |x – 4| + |x – 5|`

   `⇒ A = (|x – 2| + |x – 5|) + (|x – 3| + |x – 4|)`

   `⇒ A = (|x – 2| + |5 – x|) + (|x – 3| + |4 – x|) ≥ |x – 2 + 5 – x| + |x – 3 + 4 – x| = 4`

   `⇒ A ≥ 4`

   Dấu “`=`” xảy ra `⇔` $\left\{ \begin{array}{l}(x – 2)(5 – x) ≥ 0\\(x – 3)(4 – x) ≥ 0\end{array} \right.$

   `⇔` $\left\{ \begin{array}{l}(x – 2)(x – 5) ≤ 0\\(x – 3)(x – 4) ≤ 0\end{array} \right.$

   `⇔ x – 2` ; `x – 5` trái dấu

   và `x – 3` ; `x – 4` trái dấu

   Mà $\left\{ \begin{array}{l}x – 2 > x – 5\\x – 3 > x – 4\end{array} \right.$

   `⇔` $\left\{ \begin{array}{l}x – 2 ≥ 0 ; x – 5 ≤ 0\\x – 3 ≥ 0 ;  x – 4 ≤ 0\end{array} \right.$

   `⇔` $\left\{ \begin{array}{l}2 ≤ x ≤ 5\\3 ≤ x ≤ 4\end{array} \right.$

   Vì `2 ≤ x ≤ 5` không thỏa mãn `(x – 3)(x – 4) ≤ 0`

   `⇒ 3 ≤ x ≤ 4`

   Vậy `GTNNNN` của `|x – 2| + |x – 3| + |x – 4| + |x – 5|` là `4` `⇔ 3 ≤ x ≤ 4`

   Bình luận