tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x ²+y ²-xy-x+y+1

0 bình luận về “tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x ²+y ²-xy-x+y+1”

1. Đáp án:

   `↓↓↓` 

   Giải thích các bước giải:

   `A=x^2+y^2-xy-x+y+1`

   `=> 4A=4x^2+4y^2-4xy-4x+4y+4`

   `=(2x-y-1)^2+(3y^2+2y+3)`

   `=> 12A=3(2x-y-1)^2+(9y^2+6y+9)`

   `=3(2x-y-1)^2+(3y+1)^2+8>=8`

   `=> A>=2/3`

   Dấu “=” xảy ra `<=> 2x-y-1=0; 3y+1=0`

   `<=> 2x-y=1; y=-1/3`

   `<=> x=1/3; y=-1/3`

   Vậy `A_(min)=2/3 <=> x=1/3; y=-1/3`

   Bình luận

2. Cách giải:

   $A=x^2+y^2-xy-x+y+1$

   $→4A=4x^2+4y^2-4xy-4x+4y+4$

   $→4A=(4x^2-4xy+y^2)+3y^2-4x+4y+4$

   $→4A=(2x-y)^2-2(2x-y)+3y^2+2y+4$

   $→4A=(2x-y)^2-2(2x-y)+1+3(y^2+\dfrac{2}{3}y)+3$

   $→4A=(2x-y-1)^2+3(y^2+2.y.\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9})-\dfrac{1}{3}+3$

   $→4A=(2x-y-1)^2+3(y-\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{8}{3}$

   $(2x-y-1)^2 \geq 0$

   $3(y-\dfrac{1}{3})^2 \geq 0$

   $→(2x-y-1)^2+3(y-\dfrac{1}{3})^2 \geq 0$

   $→(2x-y-1)^2+3(y-\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{8}{3} \geq \dfrac{8}{3}$

   $→4A \geq \dfrac{8}{3}$

   $→A \geq \dfrac{2}{3}$

   Dấu = xảy ra khi 

   $\begin{cases}2x-y-1=0\\y=\dfrac{1}{3}\\\end{cases}$

   $→\begin{cases}x=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\\\end{cases}$

   Vậy $GTNN_A=\dfrac{2}{3}↔\begin{cases}x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\\\end{cases}$

   Bình luận