Toán Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x;y;z)=4x^2+2y^2+z^2+4xy-2yz-6y-12x 26/11/2021 By Ayla Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x;y;z)=4x^2+2y^2+z^2+4xy-2yz-6y-12x
Đáp án: $\min f(x;y;z) = -9 \Leftrightarrow y = z = 3 – 2x$ Giải thích các bước giải: $\begin{array}{l}\quad f(x;y;z)=4x^2+2y^2+z^2+4xy-2yz-6y-12x\\ \to f(x;y;z) = (4x^2 +4xy + y^2 -12x – 6y +9) + (y^2 – 2yz + z^2) -9\\ \to f(x;y;z)= (2x + y – 3)^2 + (y-z)^2 – 9\\ \text{Ta có:}\\ \begin{cases}(2x + y-3)^2 \geq 0\quad \forall x;y\\(y-z)^2 \geq 0\quad \forall y;z\end{cases}\\ \text{Do đó:}\\ \quad (2x + y – 3)^2 + (y-z)^2 – 9 \geq -9\\ \to f(x;y;z) \geq -9\\ \text{Dấu = xảy ra}\,\,\Leftrightarrow \begin{cases}2x + y – 3 =0\\y – z =0\end{cases}\Leftrightarrow y = z = 3 – 2x\\ Vậy\,\,\min f(x;y;z) = -9 \Leftrightarrow y = z = 3 – 2x\end{array}$ Trả lời
Đáp án:
$\min f(x;y;z) = -9 \Leftrightarrow y = z = 3 – 2x$
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}\quad f(x;y;z)=4x^2+2y^2+z^2+4xy-2yz-6y-12x\\ \to f(x;y;z) = (4x^2 +4xy + y^2 -12x – 6y +9) + (y^2 – 2yz + z^2) -9\\ \to f(x;y;z)= (2x + y – 3)^2 + (y-z)^2 – 9\\ \text{Ta có:}\\ \begin{cases}(2x + y-3)^2 \geq 0\quad \forall x;y\\(y-z)^2 \geq 0\quad \forall y;z\end{cases}\\ \text{Do đó:}\\ \quad (2x + y – 3)^2 + (y-z)^2 – 9 \geq -9\\ \to f(x;y;z) \geq -9\\ \text{Dấu = xảy ra}\,\,\Leftrightarrow \begin{cases}2x + y – 3 =0\\y – z =0\end{cases}\Leftrightarrow y = z = 3 – 2x\\ Vậy\,\,\min f(x;y;z) = -9 \Leftrightarrow y = z = 3 – 2x\end{array}$