tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(X-2 căn X ) / (1 +căn X ) Giúp mk vs ạ

0 bình luận về “tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(X-2 căn X ) / (1 +căn X ) Giúp mk vs ạ”

1. Ta có

   $P = \dfrac{x – 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \dfrac{x + \sqrt{x} – 3\sqrt{x} – 3 + 3}{\sqrt{x} + 1}$

   $= \sqrt{x} – 3 + \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$

   $= \sqrt{x} + 1 + \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1} -4$

   Áp dụng BĐT Cauchy ta có

   $(\sqrt{x} + 1) + \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1} \geq 2 \sqrt{(\sqrt{x} + 1) . \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}} = 2\sqrt{3}$

   $<-> P \geq 2\sqrt{3} – 4$

   Dấu “=” xảy ra khi $(\sqrt{x} + 1)^2 = 3$ hay $x = 4 – 2\sqrt{3}$

   Vậy GTNN của $P$ là $2\sqrt{3} – 4$ khi $x = 4 – 2\sqrt{3}$.

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải: Đặt $ y = \sqrt[]{x} ≥ 0$ 

   $ P = \frac{y² – 2y}{y + 1} ⇒ P + 4 = \frac{y² – 2y}{y + 1} + 4 = \frac{(y + 1)² + 3}{y + 1} > 0 $ 

   $ P = \frac{y² – 2y}{y + 1} ⇔ Py + y = y² – 2y ⇔ y² – (P + 2)y – P = 0 (*)$

   Coi $(*)$ là PT bậc 2 ẩn y tham số P , để (*) có nghiệm thì:

   $Δ = (P + 2)² – 4(-P) = P² + 8P + 4 = (P + 4)² – 12 ≥ 0$

   $ ⇒ (P + 4)² ≥ 12 ≥ ⇒ P + 4 ≥ 2\sqrt[]{3}$ (vì $P + 4 > 0 ⇒ P ≥ 2(\sqrt[]{3} – 2)$

   Vậy $GTNN$ của $P = 2(\sqrt[]{3} – 2)$  

   Bình luận