Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức `P=x^3+y^3+2x^2y^2` biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn x+y=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức `P=x^3+y^3+2x^2y^2` biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn x+y=1

0 bình luận về “Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức `P=x^3+y^3+2x^2y^2` biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn x+y=1”

  1. Đáp án:

    Ta có

    `P = x^3 + y^3 + 2x^2y^2`

    `= (x + y)^3 – 3xy(x + y) + 2x^2y^2`

    `= 2x^2y^2 – 3xy + 1`

    `= 2[(xy)^2 – 2 . xy . 1/4 + 1/16] – 2xy + 7/8`

    `= 2(xy – 1/4)^2 – 2xy + 7/8 ≥ -(x + y)^2/2 + 7/8 = -1/2 + 7/8 = 3/8`

    cách khác 🙂 cách kia tùy em có hiểu vì sao ko thui

    Ta có

    `P= x^3 + y^3 + 2x^2y^2`

    `= (x + y)^3 – 3xy(x + y) + 2x^2y^2`

    `= 2x^2y^2 – 3xy + 1`

    `= 2[(xy)^2 – 3/2 xy + 1/2]`

    `= 2[(xy)^2 – 2 . xy . 3/4 + 9/16 – 1/16]`

    `= 2(xy – 3/4)^2 – 1/8`

    `= 2[x(1 – x) – 3/4]^2 – 1/8`

    `= 2[x – x^2 – 3/4]^2 – 1/8`

    `= 2(x^2 – x + 3/4)^2 – 1/8`

    `= 2[(x^2 – 2.x . 1/2 + 1/4) + 1/2]^2 – 1/8`

    `= 2[(x – 1/2)^2 + 1/2]^2 – 1/8`

    `+) (x – 1/2)^2 ≥ 0 -> (x – 1/2)^2 + 1/2 ≥ 1/2`

    `->  2[(x – 1/2)^2 + 1/2]^2 – 1/8  ≥ 2 . (1/2)^2 – 1/8 = 1/2 – 1/8 = 3/8`

    Dấu “=” xảy ra `<=> x = y = 1/2`

    Vậy `….`

    Giải thích các bước giải: 

    Bình luận

Viết một bình luận