Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức `P=x^3+y^3+2x^2y^2` biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn x+y=1 28/11/2021 Bởi Charlie Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức `P=x^3+y^3+2x^2y^2` biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn x+y=1
Đáp án: Ta có `P = x^3 + y^3 + 2x^2y^2` `= (x + y)^3 – 3xy(x + y) + 2x^2y^2` `= 2x^2y^2 – 3xy + 1` `= 2[(xy)^2 – 2 . xy . 1/4 + 1/16] – 2xy + 7/8` `= 2(xy – 1/4)^2 – 2xy + 7/8 ≥ -(x + y)^2/2 + 7/8 = -1/2 + 7/8 = 3/8` cách khác 🙂 cách kia tùy em có hiểu vì sao ko thui Ta có `P= x^3 + y^3 + 2x^2y^2` `= (x + y)^3 – 3xy(x + y) + 2x^2y^2` `= 2x^2y^2 – 3xy + 1` `= 2[(xy)^2 – 3/2 xy + 1/2]` `= 2[(xy)^2 – 2 . xy . 3/4 + 9/16 – 1/16]` `= 2(xy – 3/4)^2 – 1/8` `= 2[x(1 – x) – 3/4]^2 – 1/8` `= 2[x – x^2 – 3/4]^2 – 1/8` `= 2(x^2 – x + 3/4)^2 – 1/8` `= 2[(x^2 – 2.x . 1/2 + 1/4) + 1/2]^2 – 1/8` `= 2[(x – 1/2)^2 + 1/2]^2 – 1/8` `+) (x – 1/2)^2 ≥ 0 -> (x – 1/2)^2 + 1/2 ≥ 1/2` `-> 2[(x – 1/2)^2 + 1/2]^2 – 1/8 ≥ 2 . (1/2)^2 – 1/8 = 1/2 – 1/8 = 3/8` Dấu “=” xảy ra `<=> x = y = 1/2` Vậy `….` Giải thích các bước giải: Bình luận
Đáp án:
Ta có
`P = x^3 + y^3 + 2x^2y^2`
`= (x + y)^3 – 3xy(x + y) + 2x^2y^2`
`= 2x^2y^2 – 3xy + 1`
`= 2[(xy)^2 – 2 . xy . 1/4 + 1/16] – 2xy + 7/8`
`= 2(xy – 1/4)^2 – 2xy + 7/8 ≥ -(x + y)^2/2 + 7/8 = -1/2 + 7/8 = 3/8`
cách khác 🙂 cách kia tùy em có hiểu vì sao ko thui
Ta có
`P= x^3 + y^3 + 2x^2y^2`
`= (x + y)^3 – 3xy(x + y) + 2x^2y^2`
`= 2x^2y^2 – 3xy + 1`
`= 2[(xy)^2 – 3/2 xy + 1/2]`
`= 2[(xy)^2 – 2 . xy . 3/4 + 9/16 – 1/16]`
`= 2(xy – 3/4)^2 – 1/8`
`= 2[x(1 – x) – 3/4]^2 – 1/8`
`= 2[x – x^2 – 3/4]^2 – 1/8`
`= 2(x^2 – x + 3/4)^2 – 1/8`
`= 2[(x^2 – 2.x . 1/2 + 1/4) + 1/2]^2 – 1/8`
`= 2[(x – 1/2)^2 + 1/2]^2 – 1/8`
`+) (x – 1/2)^2 ≥ 0 -> (x – 1/2)^2 + 1/2 ≥ 1/2`
`-> 2[(x – 1/2)^2 + 1/2]^2 – 1/8 ≥ 2 . (1/2)^2 – 1/8 = 1/2 – 1/8 = 3/8`
Dấu “=” xảy ra `<=> x = y = 1/2`
Vậy `….`
Giải thích các bước giải: