Tim gia tri nho nhat cua biểu thức Q=(x-y-3).(x-y-3).(x-y-3).(x-y-3)+(x-2y).(x-2y)+2012

Đáp án:

\[{Q_{\min }} = 2012 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 6\\
y = 3
\end{array} \right.\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
Q = {\left( {x – y – 3} \right)^4} + {\left( {x – 2y} \right)^2} + 2012\\
{\left( {x – y – 3} \right)^4} \ge 0,\,\,\,\,\forall x,y\\
{\left( {x – 2y} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\,\forall x,y\\
 \Rightarrow Q = {\left( {x – y – 3} \right)^4} + {\left( {x – 2y} \right)^2} + 2012 \ge 0 + 0 + 2012 = 2012
\end{array}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
x – y – 3 = 0\\
x – 2y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – y = 3\\
x = 2y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 6\\
y = 3
\end{array} \right.\)

Vậy \({Q_{\min }} = 2012 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 6\\
y = 3
\end{array} \right.\)