Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
$f(x;y)=\log_2 \left(\cos^2xy+\dfrac1{\cos^2cy}\right)$
Suy ra $\log_2 \left(\cos^2xy+\dfrac1{\cos^2cy}\right) = \dfrac12$ vô nghiệm.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
$f(x;y)=\log_2 \left(\cos^2xy+\dfrac1{\cos^2cy}\right)$
Suy ra $\log_2 \left(\cos^2xy+\dfrac1{\cos^2cy}\right) = \dfrac12$ vô nghiệm.
Đáp án + Giải thích các bước giải:
ĐK: $\cos^2xy \ne 0 ⇔ \cos xy\ne 0 ⇔ xy \ne \dfrac{(2k+1)\pi}{2}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm ta có:
$\cos^2xy+\dfrac1{\cos^2xy} ≥ 2\sqrt{\cos^2xy.\dfrac1{\cos^2xy}}=2\sqrt{1} = 2$
$⇒ f(x;y)=\log_2 \left(\cos^2xy+\dfrac1{\cos^2xy}\right) ≥ \log_2 2=1$
Dẫu $”=”$ xảy ra khi $\cos xy=\pm 1 ⇔ xy=k\pi \ (k\in\mathbb{Z})$
Vậy $\min f(x;y)=1$ khi $xy=k\pi \ (k\in\mathbb{Z})$
Từ trên ta thấy $\log_2 \left(\cos^2xy+\dfrac1{\cos^2xy}\right) ≥ 1 \ ∀x;y$ nên ham số trên xác định.
$⇒ \log_2 \left(\cos^2xy+\dfrac1{\cos^2xy}\right) =\dfrac12 < 1$ nên vô nghiệm.