tìm giá trị nhỏ nhất của : N=x²+5y²+2xy-4x-8y+2015

0 bình luận về “tìm giá trị nhỏ nhất của : N=x²+5y²+2xy-4x-8y+2015”

1. Đáp án:

   Ta có : 

   `N = x^2 + 5y^2 + 2xy – 4x – 8y + 2015`

   `= (x^2 + 2xy + y^2) – 4(x + y) + 4 + (4y^2 – 4y + 1) + 2010`

   `= (x + y)^2 – 4(x + y) + 4 + (2y – 1)^2 + 2010`

   `= (x + y – 2)^2 + (2y – 1)^2 + 2010 ≥ 2010`

   Dấu “=” xẩy ra

   <=> $\left \{ {{x + y – 2 = 0} \atop {2y – 1 = 0}} \right.$ 

   <=> $\left \{ {{x = 3/2} \atop {y = 1/2}} \right.$ 

   Vậy MinN là `2010 <=> x = 3/2 ; y = 1/2`

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   $N=x^2+5y^2+2xy-4x-8y+2015$

   $N=x^2+2xy+y^2-4x-4y-4y+4+4y^2+1+2010$

   $N=[(x^2+2xy+y^2)-4(x+y)+4]+(4y^2-4y+1)+2010$

   $N=[(x+y)^2-2.(x+y).2+2^2]+(2y-1)^2+2010$

   $N=(x+y-2)^2+(2y-1)^2+2010$

   $(x+y-2)^2 \geq 0∀x,y ; (2y-1)^2 \geq 0∀y$

   $⇒(x+y-2)^2+(2y-1)^2+2010 \geq 2010∀x,y$

   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :

   $\left\{ \begin{matrix}x+y-2=0\\2y-1=0\end{matrix} \right.$

   $⇔\left\{ \begin{matrix}x+y=2\\2y=1\end{matrix} \right.$

   $⇔\left\{ \begin{matrix}x+y=2\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix} \right.$

   $⇔\left\{ \begin{matrix}x=\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix} \right.$

   Vậy $Min_N=2010$ khi $x=\dfrac{3}{2}$ và $y=\dfrac{1}{2}$

   Bình luận