tìm giá trị nhỏ nhất của Q= x^2-x+4+1/x^2-x+1 27/07/2021 Bởi Valerie tìm giá trị nhỏ nhất của Q= x^2-x+4+1/x^2-x+1
Đáp án: Q=5 khi x=0 hoặc 1 Giải thích các bước giải: ${x^2} – x + 1 = {(x – \frac{1}{2})^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\forall x$ Xét $\begin{array}{l} {x^2} – x + 4 + \frac{1}{{{x^2} – x + 1}}\\ = {x^2} – x + 1 + \frac{1}{{{x^2} – x + 1}} + 3 \end{array}$ Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương ta có: ${x^2} – x + 1 + \frac{1}{{{x^2} – x + 1}} \ge 2\forall x$ => Q≥5 với mọi x Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: $\begin{array}{l} {x^2} – x + 1 = \frac{1}{{{x^2} – x + 1}}\\ \Leftrightarrow {x^2} – x + 1 = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} – x = 0\\ \Leftrightarrow x(x – 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}$ Bình luận
Đáp án: Q=5 khi x=0 hoặc 1
Giải thích các bước giải:
${x^2} – x + 1 = {(x – \frac{1}{2})^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\forall x$
Xét
$\begin{array}{l} {x^2} – x + 4 + \frac{1}{{{x^2} – x + 1}}\\ = {x^2} – x + 1 + \frac{1}{{{x^2} – x + 1}} + 3 \end{array}$
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương ta có:
${x^2} – x + 1 + \frac{1}{{{x^2} – x + 1}} \ge 2\forall x$
=> Q≥5 với mọi x
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:
$\begin{array}{l} {x^2} – x + 1 = \frac{1}{{{x^2} – x + 1}}\\ \Leftrightarrow {x^2} – x + 1 = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} – x = 0\\ \Leftrightarrow x(x – 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}$