tìm giá trị nhỏ nhất của Q= x^2-x+4+1/x^2-x+1

Đáp án: Q=5 khi x=0 hoặc 1

Giải thích các bước giải:

${x^2} – x + 1 = {(x – \frac{1}{2})^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\forall x$

 Xét

$\begin{array}{l} {x^2} – x + 4 + \frac{1}{{{x^2} – x + 1}}\\  = {x^2} – x + 1 + \frac{1}{{{x^2} – x + 1}} + 3 \end{array}$

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương ta có:

${x^2} – x + 1 + \frac{1}{{{x^2} – x + 1}} \ge 2\forall x$

=> Q≥5 với mọi x

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l} {x^2} – x + 1 = \frac{1}{{{x^2} – x + 1}}\\  \Leftrightarrow {x^2} – x + 1 = 1\\  \Leftrightarrow {x^2} – x = 0\\  \Leftrightarrow x(x – 1) = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}$