Tìm giá trị nhỏ nhất của `\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}` 27/07/2021 Bởi Liliana Tìm giá trị nhỏ nhất của `\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}`
Đáp án: `ĐKXĐ: 5/3 <= x <= 7/3` Đặt `A = \sqrt{3x – 5} + \sqrt{7 – 3x}` `-> A^2 = 3x – 5 + 7 – 3x + 2\sqrt{(3x – 5)(7 – 3x)} = 2 + 2\sqrt{(3x – 5)(7 – 3x)} >= 2` `-> A >= \sqrt{2}` Dấu “=” `↔ x = 5/3` hoặc `x = 7/3` Vậy `…….` Giải thích các bước giải: Bình luận
Chứng minh BĐT phụ sau: `\sqrt{a}+\sqrt{b} \ge \sqrt{a+b}\ (a;b \ge 0)` `<=>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \ge (\sqrt{a+b})^2` `<=>a+b+2\sqrt{ab} \ge a+b` `<=>2\sqrt{ab} \ge 0` (đúng với `a;b \ge 0`) Đẳng thức xảy ra `<=>ab=0` Trở lại bài toán: ĐKXĐ: `5/3 \le x \le 7/3` Áp dụng BĐT chứng minh trên, ta có: `\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x} \ge \sqrt{3x-5+7-3x}=\sqrt{2}` Đẳng thức xảy ra `<=>(3x-5)(7-3x)=0` `<=>`\(\left[ \begin{array}{l}3x-5=0\\7-3x=0\end{array} \right.\) `<=>`\(\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac53\\x=\dfrac73\end{array} \right.\) Vậy `min=\sqrt2` khi `x=5/3` hoặc `x=7/3` Bình luận
Đáp án:
`ĐKXĐ: 5/3 <= x <= 7/3`
Đặt `A = \sqrt{3x – 5} + \sqrt{7 – 3x}`
`-> A^2 = 3x – 5 + 7 – 3x + 2\sqrt{(3x – 5)(7 – 3x)} = 2 + 2\sqrt{(3x – 5)(7 – 3x)} >= 2`
`-> A >= \sqrt{2}`
Dấu “=” `↔ x = 5/3` hoặc `x = 7/3`
Vậy `…….`
Giải thích các bước giải:
Chứng minh BĐT phụ sau:
`\sqrt{a}+\sqrt{b} \ge \sqrt{a+b}\ (a;b \ge 0)`
`<=>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \ge (\sqrt{a+b})^2`
`<=>a+b+2\sqrt{ab} \ge a+b`
`<=>2\sqrt{ab} \ge 0` (đúng với `a;b \ge 0`)
Đẳng thức xảy ra `<=>ab=0`
Trở lại bài toán:
ĐKXĐ: `5/3 \le x \le 7/3`
Áp dụng BĐT chứng minh trên, ta có:
`\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x} \ge \sqrt{3x-5+7-3x}=\sqrt{2}`
Đẳng thức xảy ra `<=>(3x-5)(7-3x)=0`
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}3x-5=0\\7-3x=0\end{array} \right.\) `<=>`\(\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac53\\x=\dfrac73\end{array} \right.\)
Vậy `min=\sqrt2` khi `x=5/3` hoặc `x=7/3`