Tìm giá trị nhỏ nhất của `\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}`

Chứng minh BĐT phụ sau: 

`\sqrt{a}+\sqrt{b} \ge \sqrt{a+b}\ (a;b \ge 0)`

`<=>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \ge (\sqrt{a+b})^2`

`<=>a+b+2\sqrt{ab} \ge a+b`

`<=>2\sqrt{ab} \ge 0` (đúng với `a;b \ge 0`)

Đẳng thức xảy ra `<=>ab=0`

Trở lại bài toán:

ĐKXĐ: `5/3 \le x \le 7/3`

Áp dụng BĐT chứng minh trên, ta có:

`\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x} \ge \sqrt{3x-5+7-3x}=\sqrt{2}`

Đẳng thức xảy ra `<=>(3x-5)(7-3x)=0`

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}3x-5=0\\7-3x=0\end{array} \right.\) `<=>`\(\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac53\\x=\dfrac73\end{array} \right.\) 

Vậy `min=\sqrt2` khi `x=5/3` hoặc `x=7/3`