tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau:
1, 2x ²+9x-13
2, 2x ²-1/x ²+3
3, x ²-4x+y ²-6y+2019
4, 2x ²+5y ²-2xy+2y+2x
tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau:
1, 2x ²+9x-13
2, 2x ²-1/x ²+3
3, x ²-4x+y ²-6y+2019
4, 2x ²+5y ²-2xy+2y+2x
Đáp án:
3) \(Min = 2006\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
1)2{x^2} + 9x – 13 = 2{x^2} + 2.x\sqrt 2 .\dfrac{9}{{2\sqrt 2 }} + {\left( {\dfrac{9}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} – \dfrac{{185}}{8}\\
= {\left( {x\sqrt 2 + \dfrac{9}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} – \dfrac{{185}}{8}\\
Do:{\left( {x\sqrt 2 + \dfrac{9}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge 0\forall x\\
\to {\left( {x\sqrt 2 + \dfrac{9}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} – \dfrac{{185}}{8} \ge – \dfrac{{185}}{8}\\
\to Min = – \dfrac{{185}}{8}\\
\Leftrightarrow x\sqrt 2 + \dfrac{9}{{2\sqrt 2 }} = 0\\
\to x = – \dfrac{9}{4}\\
3){x^2} – 4x + {y^2} – 6y + 2019\\
= {x^2} – 4x + 4 + {y^2} – 6y + 9 + 2006\\
= {\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + 2006\\
Do:\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x – 2} \right)^2} \ge 0\forall x\\
{\left( {y – 3} \right)^2} \ge 0\forall y
\end{array} \right.\\
\to {\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} \ge 0\\
\to {\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + 2006 \ge 2006\\
\to Min = 2006\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 3
\end{array} \right.\\
4)2{x^2} + 5{y^2} – 2xy + 2y + 2x\\
= {x^2} – 2xy + {y^2} + {x^2} + 2x + 1 + 4{y^2} + 2.2y.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} – \dfrac{5}{4}\\
= {\left( {x – y} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {2y + \dfrac{1}{2}} \right)^2} – \dfrac{5}{4}\\
Do:{\left( {x – y} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {2y + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x;y\\
\to {\left( {x – y} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {2y + \dfrac{1}{2}} \right)^2} – \dfrac{5}{4} \ge – \dfrac{5}{4}\\
\to Min = – \dfrac{5}{4}\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – y = 0\\
x + 1 = 0\\
2y + \dfrac{1}{2} = 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = y\\
x = – 1\\
y = – \dfrac{1}{4}
\end{array} \right.\left( {KTM} \right)
\end{array}\)
⇒ Không tồn tại x và y để biểu thức đạt GTNN hoặc GTLN
( bạn xem lại đề câu 2 nha )