Tìm GTLN của biểu thức P = $\frac{ căn (a-2)}{a}$ , với a ≥ 2.

0 bình luận về “Tìm GTLN của biểu thức P = $\frac{ căn (a-2)}{a}$ , với a ≥ 2.”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Ta có :
   $ \sqrt[]{a – 2} + \dfrac{2}{\sqrt[]{a – 2} } ≥ 2\sqrt[]{\sqrt[]{a – 2}.\dfrac{2}{\sqrt[]{a – 2} } } = 2\sqrt[]{2}$ 

   $ ⇔ \dfrac{a}{\sqrt[]{a – 2} } ≥ 2\sqrt[]{2} ⇔ \dfrac{\sqrt[]{a – 2} }{a} ≤ \dfrac{\sqrt[]{2}}{4}$

   Vậy $GTLN $ của $P = \dfrac{\sqrt[]{2}}{4}$

   Đạt được khi $ \sqrt[]{a – 2} = \dfrac{2}{\sqrt[]{a – 2} } ⇔ a – 2 = 2 ⇔ a = 4$

    

   Bình luận

2. Đáp án:

   $\max P = \dfrac{1}{2\sqrt2} \Leftrightarrow a = 4$

   Giải thích các bước giải:

   $P = \dfrac{\sqrt{a – 2}}{a}$ $(a \geq 2)$

   $+)$ Với $a = 2 \Rightarrow P = 0$

   $+)$ Với $a > 2$ Ta có:

   $\dfrac{1}{P} = \dfrac{a}{\sqrt{a – 2}} = \dfrac{a – 2 + 2}{\sqrt{a – 2}} = \sqrt{a – 2} + \dfrac{2}{\sqrt{a – 2}}$

   Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ ta được:

   $\sqrt{a – 2} + \dfrac{2}{\sqrt{a – 2}} \geq 2\sqrt{(\sqrt{a – 2})\cdot\left(\dfrac{2}{\sqrt{a – 2}}\right)} = 2\sqrt2$

   Hay $\dfrac{1}{P} \geq 2\sqrt2$

   Do đó:

   $P \leq \dfrac{1}{2\sqrt2}$

   Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{a – 2} = \dfrac{2}{\sqrt{a – 2}} \Leftrightarrow a = 4$

   Do $\dfrac{1}{2\sqrt2} > 0$

   nên $\max P = \dfrac{1}{2\sqrt2}$

   Vậy $\max P = \dfrac{1}{2\sqrt2} \Leftrightarrow a = 4$

   Bình luận