Tìm GTLN của S=(x^3-1)×(y^3-1) với x,y >=0 và x+y=4 25/09/2021 Bởi Faith Tìm GTLN của S=(x^3-1)×(y^3-1) với x,y >=0 và x+y=4
\[\begin{array}{l} S = \left( {{x^3} – 1} \right)\left( {{y^3} – 1} \right),\,\,\,x,\,\,y \ge 0,\,\,x + y = 4.\\ S = {x^3}{y^3} – \left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 1 = {\left( {xy} \right)^3} – \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} – xy + {y^2}} \right) + 1\\ = {\left( {xy} \right)^3} – 4\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} – 3xy} \right] + 1\\ = {\left( {xy} \right)^3} – 4\left( {16 – 3xy} \right) + 1\\ = {\left( {xy} \right)^3} + 12xy – 63.\\ Dat\,\,\,xy = t\,\,\,\,\left( {0 \le t \le 4} \right)\\ \Rightarrow S = {t^3} + 12t – 63\\ \Rightarrow S’ = 3{t^2} + 12 > 0\,\,\forall t\\ \Rightarrow hs\,\,DB\\ \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,\,4} \right]} y = y\left( 4 \right) = 49\\ Dau\,\, = \,\,xay\,\,ra \Leftrightarrow xy = 4\\ \left\{ \begin{array}{l} xy = 4\\ x + y = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2. \end{array}\] Bình luận
\[\begin{array}{l}
S = \left( {{x^3} – 1} \right)\left( {{y^3} – 1} \right),\,\,\,x,\,\,y \ge 0,\,\,x + y = 4.\\
S = {x^3}{y^3} – \left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 1 = {\left( {xy} \right)^3} – \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} – xy + {y^2}} \right) + 1\\
= {\left( {xy} \right)^3} – 4\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} – 3xy} \right] + 1\\
= {\left( {xy} \right)^3} – 4\left( {16 – 3xy} \right) + 1\\
= {\left( {xy} \right)^3} + 12xy – 63.\\
Dat\,\,\,xy = t\,\,\,\,\left( {0 \le t \le 4} \right)\\
\Rightarrow S = {t^3} + 12t – 63\\
\Rightarrow S’ = 3{t^2} + 12 > 0\,\,\forall t\\
\Rightarrow hs\,\,DB\\
\Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,\,4} \right]} y = y\left( 4 \right) = 49\\
Dau\,\, = \,\,xay\,\,ra \Leftrightarrow xy = 4\\
\left\{ \begin{array}{l}
xy = 4\\
x + y = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2.
\end{array}\]