Tìm GTLN, GTNN của biểu thức T = (x – y) : (x∧4 + y∧4 + 6)

Đáp án:

$T(Max)=\dfrac{1}{4}$ khi $x=1; y=-1$

$T(Min)=-\dfrac{1}{4}$ khi $x=-1; y=1$

Giải thích các bước giải:

$T=\dfrac{x-y}{x^4+y^4+6}$

$*)$ $TH1:$ Nếu $x=y$ thì $T=0$

$*)$ $TH2:$ Nếu $x \neq y$ thì:

Có: $x^4+y^4+6=x^4+1+y^4+1+4$

$\geq 2(x^2+y^2)+4=(x+y)^2+(x-y)^2+4 \geq (x-y)^2+4 \geq 2\sqrt{4(x-y)^2}=4.|x-y|$

$⇒ \dfrac{1}{x^4+y^4+6} \leq \dfrac{1}{4.|x-y|}$

$(.)$ Nếu $x > y$ thì: 

$T=\dfrac{x-y}{x^4+y^4+6} \leq \dfrac{x-y}{4.(x-y)}=\dfrac{1}{4}$

Dấu $”=”$ xảy ra khi $\begin{cases}x^4=1\\y^4=1\\(x+y)^2=0\\(x-y)^2=4\\x>y\end{cases}$

$⇔ \begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$

$(.)$ Nếu $x < y$ thì: 

$T=\dfrac{x-y}{x^4+y^4+6} \geq \dfrac{x-y}{-4(x-y)}=\dfrac{-1}{4}$

Dấu $”=”$ xảy ra khi $\begin{cases}x^4=1\\y^4=1\\(x+y)^2=0\\(x-y)^2=4\\x<y\end{cases}$

$⇔ \begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}$

Như vậy trong mọi trường hợp:

$T(Max)=\dfrac{1}{4}$ khi $x=1; y=-1$

$T(Min)=-\dfrac{1}{4}$ khi $x=-1; y=1$