Tìm GTLN, NN của hàm số y=sin2x+2sinx sử dụng kiến thức lớp 11

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có $ y(x + 2π) = sin2(x + 2π) + 2sin(x + 2π) = sin2x + 2sinx = y(x)$

$ ⇒$ Hàm số tuần hoàn với chu kỳ $2π$.Do đó chỉ cần xét $x ∈ [0; 2π]$

$ y’ = 2cos2x + 2cosx = 2(2cos²x – 1) + 2cosx = 2(cosx + 1)(2cosx – 1)$

$ y’ = 0 ⇔ cosx = – 1 ⇔ x = π; cosx = \dfrac{1}{2} ⇔ x = \dfrac{π}{3}; x = \dfrac{5π}{3}$ 

Do $ cosx + 1 ≥ 0$ nên:

$y’ > 0 ⇔ 2cosx – 1 > 0 ⇔ cosx > \dfrac{1}{2} ⇔ 0 < x < \dfrac{π}{3}; \dfrac{5π}{3} < x < 2π$

$y’ < 0 ⇔ 2cosx – 1 < 0 ⇔ cosx < \dfrac{1}{2} ⇔ \dfrac{π}{3} < x < \dfrac{5π}{3}$

$⇒ y_{max} = y(\dfrac{π}{3}) = sin2\dfrac{π}{3} + 2sin\dfrac{π}{3} = \dfrac{\sqrt[]{3}}{2} + 2\dfrac{\sqrt[]{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt[]{3}}{2} $ tại $ x = \dfrac{π}{3}$

$⇒ y_{min} = y(\dfrac{5π}{3}) = sin2\dfrac{5π}{3} + 2sin\dfrac{5π}{3} = – \dfrac{\sqrt[]{3}}{2} – 2\dfrac{\sqrt[]{3}}{2} = – \dfrac{3\sqrt[]{3}}{2} $ tại $ x = \dfrac{5π}{3}$

$ y (0) = y(2π) = 0$

Vậy $GTLN$ của $y = \dfrac{3\sqrt[]{3}}{2}; GTNN $ của $y = – \dfrac{3\sqrt[]{3}}{2} $

(Cậu tự lập bảng biến thiên)