Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:P=x^2+3x+1/x^2+1

0 bình luận về “Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:P=x^2+3x+1/x^2+1”

1. $P=\dfrac{x^2+3x+1}{x^2+1}$

   Gọi a là 1 giá trị bất kì của P

   $\Rightarrow \dfrac{x^2+3x+1}{x^2+1}=a\\ \Leftrightarrow x^2+3x+1=a(x^2+1)\\ \Leftrightarrow (a-1)x^2-3x+a-1=0\ (1)$

   Với $a=1$ thì $-3x=0\Leftrightarrow x=0$

   Với $a\ne1$ thì để phương trình (1) có nghiệm thì $∆\ge0$

   $\Leftrightarrow 9-4(a-1)^2\ge0\\ \Leftrightarrow -4a^2+8a+5\ge0\\ \Leftrightarrow \dfrac{-1}{2}\le a\le \dfrac{5}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{-1}{2}\le P\le \dfrac{5}{2}$

   Vậy $Min_P=\dfrac{-1}{2}; Max_P=\dfrac{5}{2}$

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   `P=(x^2+3x+1)/(x^2+1)`

   `+)GTN“N`

   `P+1/2=(x^2+3x+1)/(x^2+1)+1/2=(2x^2+6x+2+x^2+1)/[2(x^2+1)]=[3(x+1)^2]/[2(x^2+1)]`

   Ta có

   `3(x+1)^2>=0;2(x^2+1)>0`

   `=>P+1/2 >=0`

   `=>P>= – 1/2`

   Dấu `=` xảy ra `<=>3(x+1)^2=0<=>x=-1`

   Vậy `GTN“N` của `P=-1/2 <=>x=-1`

   `+)GTLN`

   `P-5/2=(x^2+3x+1)/(x^2+1)-5/2=(2x^2+6x+2-5x^2-5)/[2(x^2+1)]=[-3(x-1)^2]/[2(x^2+1)]`

   Ta có

   `-3(x-1)^2<=0;2(x^2+1)>0`

   `=>P-5/2 <=0`

   `=>P<= 5/2`

   Dấu `=` xảy ra `<=>-3(x-1)^2=0<=>x=1`

   Vậy `GTL“N` của `P=5/2 <=>x=1`

   Bình luận