Tìm GTNN `A=1/x+1/y` với `x,y>0` và `x^2+y^2=4` 14/11/2021 Bởi Abigail Tìm GTNN `A=1/x+1/y` với `x,y>0` và `x^2+y^2=4`
Đáp án: $\min A =\sqrt2 \Leftrightarrow x = y =\sqrt2$ Giải thích các bước giải: Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được: $\quad \dfrac1x +\dfrac1y \geq \dfrac{(1+1)^2}{x+y}$ $\to A \geq \dfrac{4}{x+y}$ Ta lại có: $\quad (x+y)^2 \leq 2(x^2 + y^2)\qquad (Bunyakovsky)$ $\to (x+y)^2 \leq 2.4 = 8$ $\to x + y \leq 2\sqrt2$ $\to \dfrac{4}{x+y}\geq \dfrac{4}{2\sqrt2}$ $\to A \geq \sqrt2$ Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x = y\\x^2 + y^2 = 4\end{cases}\Leftrightarrow x = y = \sqrt2$ Vậy $\min A =\sqrt2 \Leftrightarrow x = y =\sqrt2$ Bình luận
Đáp án+Giải thích các bước giải: Áp dụng BĐT cauchy-schwars ta có `A>=4/(x+y)` `+)(x-y)^2>=0` `->x^2+y^2-2xy>=0` `->2xy<=x^2+y^2` `->x^2+2xy+y^2<=2.(x^2+y^2)=8` `->(x+y)^2<=8` `->x+y<=2\sqrt{2}` `->1/(x+y)>=(\sqrt{2})/4` `->4/(x+y)>=\sqrt{2}` `->A>=\sqrt{2}` Dấu = xảy ra khi `x=y,x^2+y^2=4` `->x=y=\sqrt{2}` Bình luận
Đáp án:
$\min A =\sqrt2 \Leftrightarrow x = y =\sqrt2$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$\quad \dfrac1x +\dfrac1y \geq \dfrac{(1+1)^2}{x+y}$
$\to A \geq \dfrac{4}{x+y}$
Ta lại có:
$\quad (x+y)^2 \leq 2(x^2 + y^2)\qquad (Bunyakovsky)$
$\to (x+y)^2 \leq 2.4 = 8$
$\to x + y \leq 2\sqrt2$
$\to \dfrac{4}{x+y}\geq \dfrac{4}{2\sqrt2}$
$\to A \geq \sqrt2$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x = y\\x^2 + y^2 = 4\end{cases}\Leftrightarrow x = y = \sqrt2$
Vậy $\min A =\sqrt2 \Leftrightarrow x = y =\sqrt2$
Đáp án+Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT cauchy-schwars ta có
`A>=4/(x+y)`
`+)(x-y)^2>=0`
`->x^2+y^2-2xy>=0`
`->2xy<=x^2+y^2`
`->x^2+2xy+y^2<=2.(x^2+y^2)=8`
`->(x+y)^2<=8`
`->x+y<=2\sqrt{2}`
`->1/(x+y)>=(\sqrt{2})/4`
`->4/(x+y)>=\sqrt{2}`
`->A>=\sqrt{2}`
Dấu = xảy ra khi
`x=y,x^2+y^2=4`
`->x=y=\sqrt{2}`