Tìm GTNN a)A=|x+1|+|x-9| B=|x+1|+|x-3| C=|x+1|+|x-3|+|x-5| 29/08/2021 Bởi Alice Tìm GTNN a)A=|x+1|+|x-9| B=|x+1|+|x-3| C=|x+1|+|x-3|+|x-5|
$A = |x+1| + |x-9| = |x+1| + |9-x|$ Áp dụng : $|a| + |b|$ $≥$ $0$ dấu “=” khi $a.b ≥ 0$ $⇒ A = |x+1| + |9-x| ≥ |x+1+9-x| = 10$ khi $(x+1)(9-x)$ $≥$ $0$ hay $(x+1)$ và $(9-x)$ cùng dấu $TH1$.$\left \{ {{x+1 ≥ 0 } \atop {9-x ≥ 0 }} \right.$ $⇔$ $-1 ≤ x ≤ 9$ ($TM$) $TH2$.$\left \{ {{x+1 < 0 } \atop {9-x < 0 }} \right.$ $⇒$ ($KTM$) Vậy $-1 ≤ x ≤ 9$ thì $A$ đạt $GTNN=10$. $B = |x+1| + |x-3| = |x+1| + |3-x|$ Áp dụng : $|a| + |b|$ $≥$ $0$ dấu “=” khi $a.b ≥ 0$ $⇒ B = |x+1| + |3-x| ≥ |x+1+3-x| = 4$ khi $(x+1)(3-x)$ $≥$ $0$ hay $(x+1)$ và $(3-x)$ cùng dấu $TH1$.$\left \{ {{x+1 ≥ 0 } \atop {3-x ≥ 0 }} \right.$ $⇔$ $-1 ≤ x ≤ 3$ ($TM$) $TH2$.$\left \{ {{x+1 < 0 } \atop {3-x < 0 }} \right.$ $⇒$ ($KTM$) Vậy $-1 ≤ x ≤ 3$ thì $B$ đạt $GTNN=4$ $C = |x+1| + |x-3| + |x-5| = [|x+1| + |x-5|] + |x-3|$ Áp dụng : $|a| + |b|$ $≥$ $0$ dấu “=” khi $a.b ≥ 0$ Ta có: $|x+1|+|x-5| = |x+1| + |5-x| ≥ |x+1+5-x| = 6$ ($1$) Mặt $\neq$: $|3x-6|$ $≥$ $0$ $∀$ $x$ ($2$) Từ ($1$);($2$) $⇒$ $C$ $≥$ $6+0=6$ Dấu “=” khi : $\left \{ {{(x+1)(5-x)≥ 0⇔x= 3 } \atop {x-3 = 0⇔ x=3}} \right.$ Vậy $x=3$ thì $C$ đạt $GTNN=6$ Bình luận
$A = |x + 1| + |x-9| = |x+1| + |9 -x|$ Ta thấy $|x+1| \geq x+1 ∀ x$ (1) Dấu “=” xảy ra khi $x+1 \geq 0 ⇔ x \geq -1$ $|9-x| \geq 9-x ∀ x$ (2) Dấu “=” xảy ra khi $9 -x \geq 0 ⇔ x ≤ 9$ Từ (1) và (2) ⇒ $|x+1| + |9 -x| \geq (x+1) + (9 -x)$ Hay $A \geq 10$ Dấu “=” xảy ra khi $x \geq -1$ và $x ≤ 9$ ⇒ $-1 ≤ x ≤ 9$ Vậy $A_min = 10$ khi $-1 ≤ x ≤ 9$ $B = |x + 1| + |x-3| = |x+1| + |3 -x|$ Ta thấy $|x+1| \geq x+1 ∀ x$ (1) Dấu “=” xảy ra khi $x+1 \geq 0 ⇔ x \geq -1$ $|3-x| \geq 3-x ∀ x$ (2) Dấu “=” xảy ra khi $3 -x \geq 0 ⇔ x ≤ 3$ Từ (1) và (2) ⇒ $|x+1| + |3 -x| \geq (x+1) + (3 -x)$ Hay $A \geq 4$ Dấu “=” xảy ra khi $x \geq -1$ và $x ≤ 3$ ⇒ $-1 ≤ x ≤ 3$ Vậy $B_min = 4$ khi $-1 ≤ x ≤ 3$ $C=|x+1|+|x-3|+|x-5| = |x+1|+|x-3|+|5 -x|$ $ = (|x+1| + |5 -x|) + |x-3|$ Ta thấy $|x+1| \geq x+1 ∀ x$ (1) Dấu “=” xảy ra khi $x+1 \geq 0 ⇔ x \geq -1$ $|5-x| \geq 5-x ∀ x$ (2) Dấu “=” xảy ra khi $5 -x \geq 0 ⇔ x ≤ 5$ Do đó: $|x+1| + |5 -x| ≥ x+1 + 5 -x = 6 $ ⇒$ (|x+1| + |5 -x|) + |x-3| ≥ 6 + |x-3| $ Ta thấy $C= 6$ ⇔$\begin{cases} x \geq -1 \\ x \leq 5 \\ x – 3 = 0\end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x \geq -1 \\ x \leq 5 \\ x = 3\end{cases}$ ⇔ $x = 3$ Vậy $C_min = 6$ khi x = 3 Bình luận
$A = |x+1| + |x-9| = |x+1| + |9-x|$
Áp dụng : $|a| + |b|$ $≥$ $0$ dấu “=” khi $a.b ≥ 0$
$⇒ A = |x+1| + |9-x| ≥ |x+1+9-x| = 10$ khi $(x+1)(9-x)$ $≥$ $0$ hay $(x+1)$ và $(9-x)$ cùng dấu
$TH1$.$\left \{ {{x+1 ≥ 0 } \atop {9-x ≥ 0 }} \right.$ $⇔$ $-1 ≤ x ≤ 9$ ($TM$)
$TH2$.$\left \{ {{x+1 < 0 } \atop {9-x < 0 }} \right.$ $⇒$ ($KTM$)
Vậy $-1 ≤ x ≤ 9$ thì $A$ đạt $GTNN=10$.
$B = |x+1| + |x-3| = |x+1| + |3-x|$
Áp dụng : $|a| + |b|$ $≥$ $0$ dấu “=” khi $a.b ≥ 0$
$⇒ B = |x+1| + |3-x| ≥ |x+1+3-x| = 4$ khi $(x+1)(3-x)$ $≥$ $0$ hay $(x+1)$ và $(3-x)$ cùng dấu
$TH1$.$\left \{ {{x+1 ≥ 0 } \atop {3-x ≥ 0 }} \right.$ $⇔$ $-1 ≤ x ≤ 3$ ($TM$)
$TH2$.$\left \{ {{x+1 < 0 } \atop {3-x < 0 }} \right.$ $⇒$ ($KTM$)
Vậy $-1 ≤ x ≤ 3$ thì $B$ đạt $GTNN=4$
$C = |x+1| + |x-3| + |x-5| = [|x+1| + |x-5|] + |x-3|$
Áp dụng : $|a| + |b|$ $≥$ $0$ dấu “=” khi $a.b ≥ 0$
Ta có: $|x+1|+|x-5| = |x+1| + |5-x| ≥ |x+1+5-x| = 6$ ($1$)
Mặt $\neq$: $|3x-6|$ $≥$ $0$ $∀$ $x$ ($2$)
Từ ($1$);($2$) $⇒$ $C$ $≥$ $6+0=6$
Dấu “=” khi : $\left \{ {{(x+1)(5-x)≥ 0⇔x= 3 } \atop {x-3 = 0⇔ x=3}} \right.$
Vậy $x=3$ thì $C$ đạt $GTNN=6$
$A = |x + 1| + |x-9| = |x+1| + |9 -x|$
Ta thấy $|x+1| \geq x+1 ∀ x$ (1)
Dấu “=” xảy ra khi $x+1 \geq 0 ⇔ x \geq -1$
$|9-x| \geq 9-x ∀ x$ (2)
Dấu “=” xảy ra khi $9 -x \geq 0 ⇔ x ≤ 9$
Từ (1) và (2) ⇒ $|x+1| + |9 -x| \geq (x+1) + (9 -x)$
Hay $A \geq 10$
Dấu “=” xảy ra khi $x \geq -1$ và $x ≤ 9$ ⇒ $-1 ≤ x ≤ 9$
Vậy $A_min = 10$ khi $-1 ≤ x ≤ 9$
$B = |x + 1| + |x-3| = |x+1| + |3 -x|$
Ta thấy $|x+1| \geq x+1 ∀ x$ (1)
Dấu “=” xảy ra khi $x+1 \geq 0 ⇔ x \geq -1$
$|3-x| \geq 3-x ∀ x$ (2)
Dấu “=” xảy ra khi $3 -x \geq 0 ⇔ x ≤ 3$
Từ (1) và (2) ⇒ $|x+1| + |3 -x| \geq (x+1) + (3 -x)$
Hay $A \geq 4$
Dấu “=” xảy ra khi $x \geq -1$ và $x ≤ 3$ ⇒ $-1 ≤ x ≤ 3$
Vậy $B_min = 4$ khi $-1 ≤ x ≤ 3$
$C=|x+1|+|x-3|+|x-5| = |x+1|+|x-3|+|5 -x|$
$ = (|x+1| + |5 -x|) + |x-3|$
Ta thấy $|x+1| \geq x+1 ∀ x$ (1)
Dấu “=” xảy ra khi $x+1 \geq 0 ⇔ x \geq -1$
$|5-x| \geq 5-x ∀ x$ (2)
Dấu “=” xảy ra khi $5 -x \geq 0 ⇔ x ≤ 5$
Do đó: $|x+1| + |5 -x| ≥ x+1 + 5 -x = 6 $
⇒$ (|x+1| + |5 -x|) + |x-3| ≥ 6 + |x-3| $
Ta thấy $C= 6$
⇔$\begin{cases} x \geq -1 \\ x \leq 5 \\ x – 3 = 0\end{cases}$
⇔ $\begin{cases} x \geq -1 \\ x \leq 5 \\ x = 3\end{cases}$
⇔ $x = 3$
Vậy $C_min = 6$ khi x = 3