Tìm GTNN biểu thức S= $\frac{x+\sqrt[]{x}+4 }{\sqrt[]{x} }$ 02/08/2021 Bởi Melanie Tìm GTNN biểu thức S= $\frac{x+\sqrt[]{x}+4 }{\sqrt[]{x} }$
Đáp án: (x + √x + 4)/√x = (x – 4√x + 4 + 5√x)/√x = [(x – 4√x + 4)/√x] + (5√x/√x) =(√x – 2)²/√x + 5 Mà (√x – 2)² ≥ 0 và √x ≥ 0 ⇒ (√x – 2)²/√x ≥ 0 ⇒(√x – 2)²/√x + 5 ≥ 5 ⇒Min S = 5 khi √x – 2 = 0 ⇒√x = 2 ⇒x = 4 Bình luận
Đặt \(t=\sqrt x\) và \(\dfrac{x+\sqrt x+4}{\sqrt x}=k\) \(→\dfrac{t^2+t+4}{t}=k\\↔t^2+t+4=kt\\↔t^2+t+4-kt=0\\↔t^2+t(1-k)+4=0(*)\) Để biểu thức đạt GTNN thì pt \( (*)\) phải có nghiệm \(→Δ=(1-k)^2-4.1.4≥0\\↔1-2k+k^2-16≥0\\↔k^2-2k-15≥0\\↔k^2-5k+3k-15≥0\\↔k(k-5)+3(k-5)≥0\\↔(k+3)(k-5)≥0\\↔\left[\begin{array}{1}\begin{cases}k+3≥0\\k-5≥0\end{cases}\\\begin{cases}k+3≤0\\k-5≤0\end{cases}\end{array}\right.\\↔\left[\begin{array}{1}\begin{cases}k≥-3\\k≥5\end{cases}\\\begin{cases}k≤-3\\k≤5\end{cases}\end{array}\right.\\↔\left[\begin{array}{1}k≥5\\k≤-3\end{array}\right.\) Vì \(k≥5→\min S =5\) → Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{t^2+t+4}{t}=5\\↔t=2\\↔\sqrt x=2\\↔x=4\) Vậy \(\min S=5\) khi \(x=4\) Bình luận
Đáp án:
(x + √x + 4)/√x
= (x – 4√x + 4 + 5√x)/√x
= [(x – 4√x + 4)/√x] + (5√x/√x)
=(√x – 2)²/√x + 5
Mà (√x – 2)² ≥ 0 và √x ≥ 0
⇒ (√x – 2)²/√x ≥ 0
⇒(√x – 2)²/√x + 5 ≥ 5
⇒Min S = 5 khi √x – 2 = 0
⇒√x = 2
⇒x = 4
Đặt \(t=\sqrt x\) và \(\dfrac{x+\sqrt x+4}{\sqrt x}=k\)
\(→\dfrac{t^2+t+4}{t}=k\\↔t^2+t+4=kt\\↔t^2+t+4-kt=0\\↔t^2+t(1-k)+4=0(*)\)
Để biểu thức đạt GTNN thì pt \( (*)\) phải có nghiệm
\(→Δ=(1-k)^2-4.1.4≥0\\↔1-2k+k^2-16≥0\\↔k^2-2k-15≥0\\↔k^2-5k+3k-15≥0\\↔k(k-5)+3(k-5)≥0\\↔(k+3)(k-5)≥0\\↔\left[\begin{array}{1}\begin{cases}k+3≥0\\k-5≥0\end{cases}\\\begin{cases}k+3≤0\\k-5≤0\end{cases}\end{array}\right.\\↔\left[\begin{array}{1}\begin{cases}k≥-3\\k≥5\end{cases}\\\begin{cases}k≤-3\\k≤5\end{cases}\end{array}\right.\\↔\left[\begin{array}{1}k≥5\\k≤-3\end{array}\right.\)
Vì \(k≥5→\min S =5\)
→ Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{t^2+t+4}{t}=5\\↔t=2\\↔\sqrt x=2\\↔x=4\)
Vậy \(\min S=5\) khi \(x=4\)